На продолжении боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC отметили точку K так, что AK = AB, а на продолжении основания AC — точку M так, что CM = AC. Докажите, что CK = BM.

В условии, вероятно, допущена ошибка: если AB — боковая сторона, а AC — основание, то в равнобедренном треугольнике должно быть \(AB=BC\). При таком условии утверждение в общем случае неверно.

Например, возьмём координаты \(A(0;0)\), \(C(4;0)\), \(B(2;3)\). Тогда \(AB=BC=\sqrt{13}\), то есть треугольник равнобедренный с основанием \(AC\).

Если точки расположены на продолжениях за точками \(B\) и \(C\), то \(K(4;6)\), \(M(8;0)\). Поэтому

\[CK=6,\qquad BM=\sqrt{(8-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.\]

Следовательно, \(CK\ne BM\).

Вероятно, имелось в виду, что \(AB=AC\), то есть основание треугольника — \(BC\). Тогда доказательство таково. Пусть \(\vec{AB}=\mathbf b\), \(\vec{AC}=\mathbf c\). Так как \(AK=AB\) и \(CM=AC\), имеем \(\vec{AK}=2\mathbf b\), \(\vec{AM}=2\mathbf c\). Тогда

\[CK^2=|2\mathbf b-\mathbf c|^2=4|\mathbf b|^2+|\mathbf c|^2-4\mathbf b\cdot\mathbf c,\]

\[BM^2=|2\mathbf c-\mathbf b|^2=4|\mathbf c|^2+|\mathbf b|^2-4\mathbf b\cdot\mathbf c.\]

Поскольку \(AB=AC\), то \(|\mathbf b|=|\mathbf c|\), следовательно, \(CK^2=BM^2\), а значит, \(CK=BM\).

Ответ: в напечатанном условии, по-видимому, перепутано основание: доказательство верно при условии \(AB=AC\) (основание \(BC\)).