1) На продолжений стороны АВ треугольника АВС за точку В отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите ∠ BCD, если ∠ АСВ = 45°, ∠ BAC = 55°. 2) В треугольнике АВС проведена биссектриса СЕ. Найдите ВСЕ, если 2 ВАС = 42°, ∠ ABC = 84°. 3) Β Δ ABC (∠C = 90°) проведена высота CD. Найдите ۷ А, если DB = 3, BC = 6. 4) Внешняя биссектриса треугольника АВС при вершине В параллельна АС. Найдите 2 САВ, если ∠ ABC = 28°. 5) Внутри угла АОВ = 140° проведены лучи ОС и ОМ, ∠ АОС меньше 2 ВОС на 24°, ОМ Найдите 2 СOM. биссектриса ∠BOC. 6) В ДАВС (AB = BC) ∠B = 72°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите ∠AMC. 7) В треугольнике АВС на продолжении ВС за вершину В отмечена D так, что АВ = BD. Найдите ∠BAD, если ∠ACB = 80°, ∠ BAC = 30°.

1)

• На продолжении стороны AB треугольника ABC за точку B отмечена точка D, такая что BC = BD. Треугольник BCD равнобедренный, значит, углы при основании CD равны.
• Угол CBD является внешним углом треугольника ABC, поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠CBD = ∠BAC + ∠ACB = 55° + 45° = 100°.
• В равнобедренном треугольнике BCD углы при основании CD равны: ∠BCD = ∠BDC = (180° - ∠CBD) / 2 = (180° - 100°) / 2 = 40°.

Ответ: ∠BCD = 40°

2)

• CE - биссектриса ∠ACB, значит, ∠BCE = 1/2 ∠ACB.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 42° - 84° = 54°.
• ∠BCE = 1/2 ∠ACB = 54° / 2 = 27°.

Ответ: ∠BCE = 27°

3)

• В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу AB на отрезки DB и AD.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. tg A = BC/AC = 6/AC.
• tg A = BC/DB = 6/3 = 2. AC = 6/tg A = 6/2 = 3.
• В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора AB = √(AC^2 + BC^2) = √(3^2 + 6^2) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.
• AD = AB - DB = 3√5 - 3 = 3(√5 - 1).
• tg A = BC/AC = 6/3 = 2. ∠A = arctg 2 ≈ 63.4°.

Ответ: ∠A = arctg 2 ≈ 63.4°

4)

• Пусть внешняя биссектриса угла B пересекает продолжение стороны AC в точке E. Так как BE параллельна AC, то ∠EBC = ∠ACB как соответственные углы при параллельных прямых и секущей BC.
• ∠ABE = 180° - ∠ABC = 180° - 28° = 152°.
• BE - биссектриса внешнего угла B, значит, ∠EBC = ∠ABE / 2 = 152° / 2 = 76°.
• ∠ACB = ∠EBC = 76°.
• В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, значит, ∠CAB = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 28° - 76° = 76°.

Ответ: ∠CAB = 76°

5)

• ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 140°.
• ∠AOC = ∠BOC - 24°.
• ∠BOC - 24° + ∠BOC = 140°.
• 2 * ∠BOC = 164°.
• ∠BOC = 82°.
• ∠AOC = 140° - 82° = 58°.
• OM - биссектриса ∠BOC, значит, ∠MOC = ∠BOC / 2 = 82° / 2 = 41°.

Ответ: ∠COM = 41°

6)

• В треугольнике ABC AB = BC, значит, треугольник равнобедренный, и углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 72°) / 2 = 54°.
• AM и CM - биссектрисы углов A и C соответственно, значит, ∠MAC = ∠BAC / 2 = 54° / 2 = 27° и ∠MCA = ∠BCA / 2 = 54° / 2 = 27°.
• В треугольнике AMC сумма углов равна 180°, значит, ∠AMC = 180° - ∠MAC - ∠MCA = 180° - 27° - 27° = 126°.

Ответ: ∠AMC = 126°

7)

• В треугольнике ABC на продолжении BC за вершину B отмечена точка D так, что AB = BD. Тогда треугольник ABD - равнобедренный, следовательно углы при основании AD равны.
• ∠ABD - внешний угол треугольника ABC, поэтому ∠ABD = ∠ACB + ∠BAC = 80° + 30° = 110°.
• ∠BAD = ∠BDA = (180° - ∠ABD) / 2 = (180° - 110°) / 2 = 35°.

Ответ: ∠BAD = 35°