4. На распиловочном станке пилят доски. Раз в год станок испытывают. Для этого измеряют толщину полученной доски в пяти разных местах и вычисляют дисперсию. Если дисперсия превышает 0,05, то станок нуждается в ремонте. В таблице даны результаты измерений. Номер измерения 1 2 3 4 5 Диаметр (мм) 18,1 18,5 18,5 18,6 18,3 а) Найдите размах измерений. б) Найдите дисперсию измерений. в) Определите, нуждается ли станок в ремонте?

Решение: а) Размах измерений - это разность между максимальным и минимальным значениями в выборке. В данном случае, максимальное значение равно 18,6 мм, а минимальное - 18,1 мм. Размах = 18,6 - 18,1 = 0,5 мм б) Для нахождения дисперсии измерений выполним следующие шаги: 1. Найдем среднее арифметическое значение измерений: $$ \bar{x} = \frac{18.1 + 18.5 + 18.5 + 18.6 + 18.3}{5} = \frac{92}{5} = 18.4 $$ 2. Вычислим квадраты отклонений каждого измерения от среднего: * $$(18.1 - 18.4)^2 = (-0.3)^2 = 0.09$$ * $$(18.5 - 18.4)^2 = (0.1)^2 = 0.01$$ * $$(18.5 - 18.4)^2 = (0.1)^2 = 0.01$$ * $$(18.6 - 18.4)^2 = (0.2)^2 = 0.04$$ * $$(18.3 - 18.4)^2 = (-0.1)^2 = 0.01$$ 3. Найдем сумму квадратов отклонений: $$ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 0.09 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.01 = 0.16 $$ 4. Разделим сумму квадратов отклонений на количество измерений (5) для получения дисперсии: $$ D = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{0.16}{5} = 0.032 $$ Дисперсия измерений равна 0,032. в) Так как дисперсия (0,032) меньше, чем 0,05, станок не нуждается в ремонте.