На расстоянии 2√2 см от центра шара проведено сечение, длина окружности которого в 3 раза меньше длины большей окружности. Найдите площадь сечения.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Обозначим радиус шара за R, а радиус сечения за r. Длина окружности сечения равна \( 2\pi r \), а длина большей окружности (окружности шара) равна \( 2\pi R \). По условию, длина окружности сечения в 3 раза меньше длины большей окружности, следовательно: \[ 2\pi r = \frac{1}{3} \cdot 2\pi R \] Отсюда получаем: \[ r = \frac{R}{3} \]
• Шаг 2: Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно \( 2\sqrt{2} \) см. Это образует прямоугольный треугольник, где R - гипотенуза, \( 2\sqrt{2} \) - один катет, а r - другой катет. По теореме Пифагора: \[ R^2 = r^2 + (2\sqrt{2})^2 \] Подставим \( r = \frac{R}{3} \): \[ R^2 = \left(\frac{R}{3}\right)^2 + (2\sqrt{2})^2 \] \[ R^2 = \frac{R^2}{9} + 8 \] \[ \frac{8}{9}R^2 = 8 \] \[ R^2 = 9 \] \[ R = 3 \]
• Шаг 3: Теперь найдем радиус сечения r: \[ r = \frac{R}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]
• Шаг 4: Площадь сечения (круга) равна: \[ S = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \]

Ответ: π