На ребре AD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка P – середина этого ребра. Найдите угол между прямой AC₁ и прямой BP.

Для решения этой задачи необходимо использовать знания геометрии, а именно:

• Свойства куба.
• Определение угла между прямыми.
• Метод координат в пространстве.

Пусть длина ребра куба равна a. Введем систему координат с началом в точке A, осью x, направленной вдоль ребра AB, осью y вдоль ребра AD и осью z вдоль ребра AA₁.

Тогда координаты точек будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• C₁(a, a, a)
• B(a, 0, 0)
• P(0, a/2, 0)

Вектор AC₁ имеет координаты (a, a, a), а вектор BP имеет координаты (-a, a/2, 0).

Угол φ между прямыми AC₁ и BP можно найти по формуле:

$$cos φ = \frac{|(a, a, a) \cdot (-a, a/2, 0)|}{||(a, a, a)|| \cdot ||(-a, a/2, 0)||} = \frac{|-a^2 + \frac{a^2}{2}|}{\sqrt{3a^2} \cdot \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{3}a \cdot \sqrt{\frac{5}{4}}a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$

$$φ = arccos(\frac{1}{\sqrt{15}})$$

$$arccos(\frac{1}{\sqrt{15}}) ≈ 75.04°$$

Ответ: arccos(1/√15) ≈ 75.04°