На рис. 123 ABCD — трапеция, точка O — центр вписанной окружности, ∠A = ∠D, AM = 9 см, CN = 4 см. Найдите периметр трапеции.

Question

Вопрос:

На рис. 123 ABCD — трапеция, точка O — центр вписанной окружности, ∠A = ∠D, AM = 9 см, CN = 4 см. Найдите периметр трапеции.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Задача:

Найти периметр трапеции ABCD, если известно, что ABCD — трапеция, точка O — центр вписанной окружности, ∠A = ∠D, AM = 9 см, CN = 4 см.

Краткое пояснение: В данной задаче необходимо найти периметр трапеции, зная длины отрезков AM и CN, а также учитывая, что в трапецию вписана окружность, и углы при основании равны.

Решение:

Свойство описанного четырехугольника: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Таким образом, для трапеции ABCD: \[ AB + CD = AD + BC \]
Касательные к окружности: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно: \[ AM = AK = 9 \] см \[ CN = CK = 4 \] см
Боковые стороны: Зная длины отрезков AM и CN, можно найти длины боковых сторон трапеции: \[ AB = AM + MB = 9 + MB \] \[ CD = CN + ND = 4 + ND \]
Равнобедренная трапеция: Так как углы при основании трапеции равны (∠A = ∠D), трапеция ABCD — равнобедренная. Значит, боковые стороны равны: \[ AB = CD \] \[ 9 + MB = 4 + ND \]
Отрезки MB и ND: В равнобедренной трапеции отрезки MB и ND также равны: \[ MB = ND \] \[ 9 + MB = 4 + MB \] Это равенство не выполняется, значит где-то ошибка в рассуждениях.

Тут нам нужно использовать свойство касательных к окружности, вписанной в угол. Раз у нас углы при основании равны, то трапеция равнобедренная. Значит BM = AM = 9 см, и DN = CN = 4 см.

Тогда AB = AM + MB = 9 + 9 = 18 см.

CD = CN + ND = 4 + 4 = 8 см.
Основания AD и BC: Теперь найдем длины оснований AD и BC. Пусть KH — высота трапеции. Тогда: \[ AD = AK + KD \] \[ BC = BH + HC \] Так как AK = AM = 9 см и CN = ND = 4 см, то: \[ AD = 9 + 4 = 13 \] \[ BC = 9 + 4 = 13 \] \[ AD = AK + KD \] \[ BC = BN + NC \] \[ AD = 9 + x \] \[ BC = 4 + y \]

AD = AK + KD = 9 + x.

BC = BN + NC = 4 + y.

Но AD + BC = AB + CD.

AD + BC = 18 + 8 = 26 см.

Значит, 9 + x + 4 + y = 26.

x + y = 13.

Пусть AD = x + 9, BC = y + 4
Так как трапеция описана около окружности, то суммы ее противоположных сторон равны: AB + CD = AD + BC

AD + BC = 18 + 8 = 26
Периметр трапеции равен: P = AB + BC + CD + AD = 2(AB + CD) = 2(18 + 8) = 2 * 26 = 52 см

Ответ: Периметр трапеции равен 52 см.