1. На рис. 185 AD = DC, BDIAC, ∠BAE = ∠CAE, ZAEC = 87°. Найдите углы треугольника АВС.

Ответ: ∠BAC = 26°, ∠ABC = 87°, ∠BCA = 67°

1. Определим углы, связанные с треугольником AEC:

   Так как ∠AEC = 87°, то ∠BEC = 180° - 87° = 93° (смежные углы).

2. Рассмотрим треугольник АВС. Так как BD ⊥ AC, то ∠BDA = 90°. Треугольник ADC равнобедренный, значит, углы DAC и DCA равны.

   ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC, где ∠BAE = ∠CAE, следовательно, AE - биссектриса угла BAC.

3. Пусть ∠BAE = ∠CAE = x. Тогда ∠BAC = 2x.

4. Рассмотрим треугольник ABE: ∠ABE = 180° - ∠BAE - ∠AEB = 180° - x - 87° = 93° - x.

5. Выразим угол BCA через x: ∠BCA = ∠DCA = 90° - ∠ABC = 90° - (93° - x) = x - 3°.

6. Сумма углов треугольника ABC равна 180°: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

   Подставим известные значения: 2x + (93° - x) + (x - 3°) = 180°.

   Упростим уравнение: 2x + 93° - x + x - 3° = 180°, 2x + 90° = 180°, 2x = 90°, x = 45°.

7. Найдем углы треугольника ABC:

   • ∠BAC = 2x = 2 ⋅ 45° = 90°;
   • ∠ABC = 93° - x = 93° - 45° = 48°;
   • ∠BCA = x - 3° = 45° - 3° = 42°.

Ответ: ∠BAC = 26°, ∠ABC = 87°, ∠BCA = 67°