1. На рис. 71 Ранс = 15 см, А,В₁ = 21 см, В,С₁ = 9 см, А,С₁ = 15 см. Найдите х, у и z. 2. Докажите, что треугольники подобны. Найдите ВК, если КС = 35 см, АК = 14 см, КD = 15 см. 3. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке М. Основания трапеции ВС = 10 см, AD = 15 см. Отрезки ВМ = 8 см и АМ = 9 см. Найти МС и MD.

1. Найдите x, y и z.

Смотри, тут всё просто: треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны по трем сторонам. Это значит, что их стороны пропорциональны. Логика такая:

• Составим отношения сходственных сторон:
• \(\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}\)
• \(\frac{21}{x} = \frac{9}{y} = \frac{15}{15}\)
• Из пропорции \(\frac{21}{x} = \frac{15}{15}\) найдем x:
• \(x = \frac{21 \cdot 15}{15} = 21\) см
• Из пропорции \(\frac{9}{y} = \frac{15}{15}\) найдем y:
• \(y = \frac{9 \cdot 15}{15} = 9\) см
• z = A₁C₁ = 15 см (дано)

Ответ: x = 21 см, y = 9 см, z = 15 см

2. Докажите, что треугольники подобны. Найдите ВК, если КС = 35 см, АК = 14 см, КD = 15 см.

Разбираемся:

• Рассмотрим треугольники AKB и DKC.
• Из условия:
• \(\frac{AK}{KD} = \frac{14}{15}\)
• \(\frac{BK}{KC} = \frac{BK}{35}\)
• Чтобы треугольники были подобны, нужно, чтобы \(\frac{AK}{KD} = \frac{BK}{KC}\).
• Тогда \(\frac{14}{15} = \frac{BK}{35}\).
• Отсюда, \(BK = \frac{14 \cdot 35}{15} = \frac{14 \cdot 7}{3} = \frac{98}{3} = 32\frac{2}{3}\) см.

Ответ: ВК = 32 2/3 см

3. Найдите МС и MD.

Логика такая:

• Треугольники BMC и DMA подобны (так как BC || AD).
• Значит, \(\frac{BM}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD}\).
• Известно, что BM = 8 см, AM = 9 см, BC = 10 см, AD = 15 см.
• \(\frac{8}{9} = \frac{MC}{MD} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\)
• Из пропорции \(\frac{MC}{MD} = \frac{8}{9}\) выразим MC через MD:
• \(MC = \frac{8}{9}MD\)
• Также \(\frac{MC}{BC} = \frac{AM}{AD}\) (из подобия треугольников)
• Тогда \(\frac{MC}{10} = \frac{9}{15}\)
• Отсюда, \(MC = \frac{9 \cdot 10}{15} = 6\) см.
• \(\frac{MD}{AD} = \frac{BM}{BA}\) (из подобия треугольников)
• Тогда \(\frac{MD}{15} = \frac{8}{9}\)
• Отсюда, \(MD = \frac{8 \cdot 15}{9} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}\) см.

Ответ: MC = 6 см, MD = 13 1/3 см