На рис. 112 точки O и O₁ — центры окружностей, CA₁ и CB₁ — касательные к окружностям. Докажите, что AA₁ = BB₁.

Решение:

Для доказательства равенства отрезков \( AA_1 \) и \( BB_1 \) будем использовать свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности, и равенство треугольников.

1. Рассмотрим меньшую окружность с центром \( O \). Отрезки \( CA \) и \( CB \) являются касательными к этой окружности, проведенными из точки \( C \). По свойству касательных, проведенных из одной точки, \( CA = CB \).
2. Аналогично, рассмотрим большую окружность с центром \( O_1 \). Отрезки \( CA_1 \) и \( CB_1 \) являются касательными к этой окружности, проведенными из точки \( C \). По свойству касательных, проведенных из одной точки, \( CA_1 = CB_1 \).
3. Теперь рассмотрим отрезок \( AA_1 \). Его можно представить как разность длин отрезков \( CA_1 \) и \( CA \): \( AA_1 = CA_1 - CA \).
4. Аналогично, отрезок \( BB_1 \) можно представить как разность длин отрезков \( CB_1 \) и \( CB \): \( BB_1 = CB_1 - CB \).
5. Из равенств \( CA = CB \) и \( CA_1 = CB_1 \), а также учитывая, что \( AA_1 = CA_1 - CA \) и \( BB_1 = CB_1 - CB \), следует, что \( AA_1 = BB_1 \).

Доказано.