На рис. 23 ABCD — прямоугольник, AM = MD. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 42 см.

Обозначим \(AM=MD=a\). Тогда \(AD=2a\), а точка M является серединой стороны AD.

По рисунку \(BM\perp CM\). Введём координаты: \(M(0,0)\), \(B(-a,h)\), \(C(a,h)\), где \(h=AB=CD\).

Векторы \(\overrightarrow{MB}=(-a,h)\) и \(\overrightarrow{MC}=(a,h)\) перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:

\[(-a)\cdot a+h^2=0\]

\[h^2=a^2,\quad h=a.\]

Значит, \(AD=2a\), а \(AB=a\). По условию периметр равен 42 см:

\[2(AD+AB)=42,\]

\[2(2a+a)=42,\]

\[6a=42,\quad a=7\text{ см}.\]

Тогда \(AB=7\) см, а \(AD=14\) см.

Ответ: стороны прямоугольника — 7 см и 14 см.