На рис. 53 три прямые пересекаются в точке O, ∠AOB = 20°, ∠A₁OC = 140°. Найдите ∠B₁OC₁, ∠AOB₁.

Поскольку лучи OA и OA₁, OB и OB₁ — противоположные, вертикальные углы ∠AOB и ∠A₁OB₁ равны. Значит, ∠A₁OB₁ = 20°.

Углы ∠A₁OC и ∠COB₁ вместе составляют развернутый угол ∠A₁OB₁? По расположению лучей на рисунке ∠COB₁ = ∠COA₁ + ∠A₁OB₁ = 140° + 20° = 160°. Так как OB и OB₁ — противоположные лучи, ∠BOC и ∠COB₁ смежные, поэтому ∠BOC = 180° − 160° = 20°.

Углы ∠BOC и ∠B₁OC₁ вертикальные, следовательно, ∠B₁OC₁ = 20°.

Углы ∠AOB₁ и ∠A₁OB₁ смежные, поскольку OA и OA₁ — противоположные лучи. Поэтому ∠AOB₁ = 180° − 20° = 160°.

Ответ: ∠B₁OC₁ = 20°, ∠AOB₁ = 160°.