На рис. AB = CD, BD = AC. Докажите, что BE = EC.

Решение:

У нас дано, что \( AB = CD \) и \( BD = AC \). Необходимо доказать, что \( BE = EC \).

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle DCB\).

1. \( AB = DC \) (дано)
2. \( AC = DB \) (дано)
3. \( BC = CB \) (общая сторона)

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам - ССС), \(\triangle ABC = \triangle DCB\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

\(\angle ABC = \angle DCB\)

Теперь рассмотрим \(\triangle EBC\).

Мы знаем, что \(\angle EBC = \angle ABC\) и \(\angle ECB = \angle DCB\).

Так как \(\angle ABC = \angle DCB\), то \(\angle EBC = \angle ECB\).

В \(\triangle EBC\) углы при основании \( BC \) равны. Следовательно, \(\triangle EBC\) — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому \( BE = EC \).

Ответ: Доказано, что \( BE = EC \).