На рисунках 114-116 представлены три фигуры, каждая из которых состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. Какая из фигур является четырёхугольником? Постройте какой-нибудь четырёхугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма. Докажите, что у четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны.

<h1>Решение задач</h1> <h2>Пункт 50</h2> <ol> <li>Четырёхугольником является фигура, у которой стороны не пересекаются (за исключением смежных вершин). Для построения четырёхугольника PQRS нужно выбрать четыре точки и последовательно соединить их отрезками. Противолежащие стороны: PQ и RS, PS и QR. Вершины: P, Q, R, S.</li> <li>Можно построить три параллелограмма, если ни одна из точек не лежит между двумя другими на одной прямой. Каждый раз выбираем одну из трёх точек как вершину, противолежащую стороне, образованной двумя оставшимися точками.</li> <li> <p>Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 м. Из точки на основании проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Получился параллелограмм, две стороны которого равны по 5 м (т.к. противоположные стороны параллелограмма равны).</p> <p>Так как от основания треугольника отсекаются два равнобедренных треугольника (углы при основании равны, так как соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны), то две другие стороны параллелограмма также равны 5 м.</p> <p>Следовательно, периметр параллелограмма равен:</p> <p>$$P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20$$ м.</p> <strong>Ответ:</strong> 20 м.</li> <li>Доказательство: У четырёхугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны. Это свойство следует из равенства отрезков касательных, проведённых из одной точки к окружности.</li> </ol>