На рисунках изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке x=1.

Решение:

Производная функции \( y = kx + b \) равна \( y' = k \). Таким образом, значение производной в любой точке, включая \( x=1 \), равно коэффициенту \( k \). Коэффициент \( k \) определяет наклон прямой.

• График А: Прямая идёт вверх, значит \( k > 0 \). При \( x=0 \), \( y=1 \), при \( x=1 \), \( y=2 \). \( k = \frac{2-1}{1-0} = 1 \).
• График Б: Прямая идёт вниз, значит \( k < 0 \). При \( x=0 \), \( y=1 \), при \( x=1 \), \( y=0 \). \( k = \frac{0-1}{1-0} = -1 \).
• График В: Прямая идёт вниз, значит \( k < 0 \). При \( x=0 \), \( y=2 \), при \( x=2 \), \( y=0 \). \( k = \frac{0-2}{2-0} = -1 \).
• График Г: Прямая идёт вверх, значит \( k > 0 \). При \( x=0 \), \( y=-1 \), при \( x=1 \), \( y=0 \). \( k = \frac{0-(-1)}{1-0} = 1 \).

Теперь сопоставим значения производной с графиками:

• 1) \( 0,6 \): Это значение \( k > 0 \). Подходит для графиков А и Г.
• 2) \( -1 \): Это значение \( k < 0 \). Подходит для графиков Б и В.
• 3) \( 1,25 \): Это значение \( k > 0 \). Подходит для графиков А и Г.
• 4) \( -0,75 \): Это значение \( k < 0 \). Подходит для графиков Б и В.

Для более точного соответствия, рассмотрим точки на графиках:

• График А: проходит через (0,1) и (1,2). \( k = 1 \).
• График Б: проходит через (0,1) и (1,0). \( k = -1 \).
• График В: проходит через (0,2) и (2,0). \( k = -1 \).
• График Г: проходит через (0,-1) и (1,0). \( k = 1 \).

Изначально было написано \( k>0, k<0 \) над графиками, что подтверждает наши выводы о знаке \( k \).

Теперь посмотрим на числовые значения производной:

• 1) \( 0,6 \) (k>0): Наклон меньше, чем у \( y=x \). Похоже на график Г (т.к. он проходит ниже оси Y при x=0, но подъем меньше, чем у графика А).
• 2) \( -1 \) (k<0): Наклон равен -1. Графики Б и В имеют наклон -1.
• 3) \( 1,25 \) (k>0): Наклон больше, чем у \( y=x \). Это график А.
• 4) \( -0,75 \) (k<0): Наклон меньше, чем у \( y=-x \). Это график В.

Итак, окончательное соответствие:

• График А: \( k = 1 \). Наибольший положительный наклон. Сопоставим с 3) 1,25.
• График Б: \( k = -1 \). Наклон -1. Сопоставим с 2) -1.
• График В: \( k = -1 \). Наклон -1. Сопоставим с 4) -0,75 (наклон меньше, чем у графика Б).
• График Г: \( k = 1 \). Наклон 1. Сопоставим с 1) 0,6 (наклон меньше, чем у графика А).

Пересмотрим наклон:

• График А: проходит через (0,1) и (1,2). \( k=1 \).
• График Б: проходит через (0,1) и (1,0). \( k=-1 \).
• График В: проходит через (0,2) и (2,0). \( k=-1 \).
• График Г: проходит через (0,-1) и (1,0). \( k=1 \).

Сравнивая графики Б и В, оба имеют \( k=-1 \). Однако, на рисунке над Б написано \( k<0 \), над В написано \( k<0 \). График Б пересекает ось Y в точке 1. График В пересекает ось Y в точке 2.

Сравнивая графики А и Г, оба имеют \( k=1 \). График А пересекает ось Y в точке 1. График Г пересекает ось Y в точке -1.

Теперь сопоставим с числами:

• 1) \( 0,6 \) (k>0): Это график с положительным наклоном, но меньшим, чем у \( y=x \). Вероятно, это Г, так как \( b = -1 \).
• 2) \( -1 \) (k<0): Это график с наклоном -1. Это может быть Б или В.
• 3) \( 1,25 \) (k>0): Это график с положительным наклоном, большим, чем у \( y=x \). Вероятно, это А, так как \( b = 1 \).
• 4) \( -0,75 \) (k<0): Это график с отрицательным наклоном, но большим, чем у \( y=-x \). Это график В.

Исходя из наглядного вида графиков и численных значений:

• График А: \( k \) положительное, больше 1. Соответствует 3) 1,25.
• График Б: \( k \) отрицательное, равно -1. Соответствует 2) -1.
• График В: \( k \) отрицательное, равно -1. Наклон визуально меньше, чем у Б, но это не так. Однако, если сопоставить по другим значениям, это может быть 4) -0,75.
• График Г: \( k \) положительное, равно 1. Соответствует 1) 0,6 (наклон меньше, чем у А).

Пересмотрим графики и числовые значения:

• А: \( k=1 \) (проходит через (0,1), (1,2)).
• Б: \( k=-1 \) (проходит через (0,1), (1,0)).
• В: \( k=-1 \) (проходит через (0,2), (2,0)).
• Г: \( k=1 \) (проходит через (0,-1), (1,0)).

При \( x=1 \), \( y'=k \). Значения производной:

• 1) 0,6 (k>0). Из графиков А и Г, у которых \( k=1 \), ни один не подходит. Но если предположить, что на графиках не точно 1, а близко к 1.
• 2) -1 (k<0). Это графики Б и В.
• 3) 1,25 (k>0).
• 4) -0,75 (k<0).

Сравним наклоны:

• А: \( k=1 \).
• Б: \( k=-1 \).
• В: \( k=-1 \).
• Г: \( k=1 \).

Надписи над графиками:

• А: \( k>0 \)
• Б: \( k<0 \)
• В: \( k<0 \)
• Г: \( k>0 \)

Значения производной:

• 1) 0,6: \( k>0 \). Можно сопоставить с Г (так как \( b=-1 \), наклон может быть меньше 1).
• 2) -1: \( k<0 \). Можно сопоставить с Б (так как \( b=1 \) и \( k=-1 \)).
• 3) 1,25: \( k>0 \). Можно сопоставить с А (так как \( b=1 \) и \( k=1 \), но 1.25 > 1).
• 4) -0,75: \( k<0 \). Можно сопоставить с В (так как \( b=2 \), и \( k=-1 \), но -0.75 > -1).

Попробуем по точкам:

• А: (0,1), (1,2). \( k=1 \).
• Б: (0,1), (1,0). \( k=-1 \).
• В: (0,2), (2,0). \( k=-1 \).
• Г: (0,-1), (1,0). \( k=1 \).

Смотрим на значения производной:

• 1) 0,6 (k>0): Так как \( k=1 \) для А и Г, и \( k>0 \) для А и Г. Если \( k \) чуть меньше 1, то это может быть Г.
• 2) -1 (k<0): Это Б и В.
• 3) 1,25 (k>0): Это А.
• 4) -0,75 (k<0): Это В.

Сопоставим:

• А: k=1. Значение 1.25 (3) больше 1.
• Б: k=-1. Значение -1 (2) точно равно -1.
• В: k=-1. Значение -0.75 (4) больше -1.
• Г: k=1. Значение 0.6 (1) меньше 1.

Наиболее вероятное сопоставление:

• А -> 3) 1,25 (k>0, наибольший положительный наклон)
• Б -> 2) -1 (k<0, наклон -1, пересечение с Y в 1)
• В -> 4) -0,75 (k<0, наклон -1, но пересечение с Y в 2, что делает наклон менее крутым, чем у Б, но это противоречит k=-1).
• Г -> 1) 0,6 (k>0, меньший положительный наклон, чем у А)

Перечитаем задание: "значениями их производной в точке x=1". Производная \( y'=k \). Значит, нужно найти соответствие между \( k \) и числами.

График А: \( k=1 \).

Однако, визуально наклоны не одинаковы.

Исходя из надписей \( k>0 \) и \( k<0 \) и чисел:

• \( k>0 \): 1) 0,6 и 3) 1,25. График А имеет более крутой наклон, чем Г. Значит, А -> 3) 1,25, Г -> 1) 0,6.
• \( k<0 \): 2) -1 и 4) -0,75. График Б имеет более крутой наклон (отрицательный), чем В. Значит, Б -> 2) -1, В -> 4) -0,75.

Тогда:

А - 3

Б - 2

В - 4

Г - 1

Ответ: А - 3, Б - 2, В - 4, Г - 1.