1.На рисунке ∠ABE = 100°, ∠DCF = 80°, AC = 10 см. Найдите сторону АВ треугольника ABC. 2.В треугольнике ABC точка N лежит на стороне АС, причём угол ANB острый. Докажите, что ВС > BN. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 40 см, одна из его сторон больше другой на 4 см. Найдите стороны треугольника. Вариант 2 1.На рисунке ∠BAE = 110°, ∠DBF = 70°, BC = 8 см. Найдите сторону АС треугольника ABC. 2.В треугольнике FBD точка К лежит на стороне FB, причём угол FKD острый. Докажите, что KD < FD. 3.Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 15 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 75 см.

Ответ: Решения ниже

Вариант 1

1. Для решения этой задачи недостаточно данных. Необходим рисунок, чтобы понять взаимосвязь углов и сторон треугольника. Без него невозможно определить сторону AB.

2. В треугольнике ABC точка N лежит на стороне AC, угол ANB острый. Нужно доказать, что BC > BN.

   Доказательство:

   • Рассмотрим треугольник ANB. Так как угол ANB острый, то угол ABN должен быть тупым или прямым (сумма углов в треугольнике равна 180 градусам).
   • В треугольнике BNC угол BNC является смежным с углом ANB, следовательно, угол BNC тупой.
   • В треугольнике BNC против тупого угла BNC лежит сторона BC, а против острого угла NBC лежит сторона BN. Следовательно, BC > BN (против большего угла лежит большая сторона).

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 40 см, одна из его сторон больше другой на 4 см. Найдите стороны треугольника.

   Пусть x - меньшая сторона, тогда x + 4 - большая сторона.

   Рассмотрим два случая:

   • Бо́льшая сторона - основание, тогда две другие стороны равны x. Получаем уравнение: x + x + 4 + x = 40. 3x + 4 = 40. 3x = 36. x = 12. Стороны: 12 см, 12 см, 16 см.
   • Бо́льшая сторона - боковая, тогда другая боковая сторона равна x + 4, а основание - x. Получаем уравнение: x + 4 + x + 4 + x = 40. 3x + 8 = 40. 3x = 32. x = 32/3 = 10.(6). Стороны: 32/3 см, 44/3 см, 44/3 см.

   Так как треугольник тупоугольный, проверим условие тупоугольности (квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон):

   • Для 12, 12, 16: 16^2 > 12^2 + 12^2? 256 > 144 + 144? 256 > 288 - неверно.
   • Для 32/3, 44/3, 44/3: (44/3)^2 > (32/3)^2 + (44/3)^2? (44/3)^2 > (32/3)^2 + (44/3)^2 - неверно.

   Значит, первый случай не подходит, т.к. не выполняется условие тупоугольности. Стороны треугольника: 12 см, 12 см, 16 см.

Вариант 2

1. На рисунке ∠BAE = 110°, ∠DBF = 70°, BC = 8 см. Найдите сторону АС треугольника ABC.

   Для решения этой задачи, как и в первом варианте, недостаточно данных. Необходим рисунок, чтобы понять, как углы BAE и DBF связаны с треугольником ABC, а также как сторона BC связана с другими сторонами и углами треугольника. Без рисунка невозможно определить сторону AC.

2. В треугольнике FBD точка K лежит на стороне FB, угол FKD острый. Докажите, что KD < FD.

   Доказательство:

   • Рассмотрим треугольник FKD. Угол FKD - острый.
   • Угол FDK - острый, так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, и угол FKD острый.
   • В треугольнике FKD против большего угла лежит большая сторона.
   • Угол FDK - острый, тогда угол FKD - острый.
   • Угол KFD может быть любым.
   • Нам нужно доказать, что KD < FD.
   • Если угол FKD острый, то сторона FD больше стороны KD.

   Следовательно, KD < FD.

3. Одна из сторон тупоугольного равнобедренного треугольника на 15 см меньше другой. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 75 см.

   Пусть x - меньшая сторона, тогда x + 15 - большая сторона.

   Рассмотрим два случая:

   • Бо́льшая сторона - основание, тогда две другие стороны равны x. Получаем уравнение: x + x + 15 + x = 75. 3x + 15 = 75. 3x = 60. x = 20. Стороны: 20 см, 20 см, 35 см.
   • Бо́льшая сторона - боковая, тогда другая боковая сторона равна x + 15, а основание - x. Получаем уравнение: x + 15 + x + 15 + x = 75. 3x + 30 = 75. 3x = 45. x = 15. Стороны: 15 см, 30 см, 30 см.

   Так как треугольник тупоугольный, проверим условие тупоугольности (квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон):

   • Для 20, 20, 35: 35^2 > 20^2 + 20^2? 1225 > 400 + 400? 1225 > 800 - верно.
   • Для 15, 30, 30: 30^2 > 15^2 + 30^2? 900 > 225 + 900? 900 > 1125 - неверно.

   Значит, первый случай подходит, а второй - нет, т.к. не выполняется условие тупоугольности. Стороны треугольника: 20 см, 20 см, 35 см.

Ответ: Решения выше