1. На рисунке ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС. 2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне МN, причём угол №КР острый. Докажите, что KP < MP. 3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

1) На рисунке ∠BAE = 112°, ∠DBF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольника АВС.

• Сумма смежных углов равна 180°.
• ∠ВАС = 180° - ∠BAE = 180° - 112° = 68°.
• ∠СВА = 180° - ∠DBF = 180° - 68° = 112°.
• Сумма углов треугольника равна 180°.
• ∠ACB = 180° - ∠ВАС - ∠СВА = 180° - 68° - 112° = 0°.
• Углы ∠ВАС и ∠СВА равны, следовательно, треугольник равнобедренный, а значит, АС = ВС = 9 см.

2) В треугольнике MNP точка К лежит на стороне МN, причём угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

• Так как угол NKP острый, то угол MKP - тупой (смежный с острым).
• Против большего угла лежит большая сторона, следовательно, KP < MP.

3) Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

• Пусть x - меньшая сторона, тогда x + 17 - большая сторона.
• Рассмотрим два случая:

• Для тупоугольного равнобедренного треугольника с основанием x+17 должно выполняться неравенство x+17 > x, т.е. основание должно быть больше боковой стороны.
• Т.к. 37>20, то этот вариант подходит.
• Т.к. 14.33<31.33, то этот вариант не подходит.