На рисунке 124 \(AB\|CD\), \(MA = 12\) см, \(AC = 4\) см, \(BD = 6\) см. Найдите отрезок MB. Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, причём сторонам \(AB\) и \(BC\) соответствуют стороны \(A_1B_1\) и \(B_1C_1\). Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если \(AB = 8\) см, \(BC = 10\) см, \(A_1B_1 = 4\) см, \(A_1C_1 = 6\) см. Отрезок AK — биссектриса треугольника ABC, \(AB = 12\) см, \(BK = 8\) см, \(CK = 18\) см. Найдите сторону AC. На стороне BC треугольника ABC отметили точку M так, что \(BM:MC = 2:9\). Через точку M провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке K. Найдите сторону AC, если \(MK = 18\) см. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O, \(BC:AD = 3:5\), \(BD = 24\) см. Найдите отрезки BO и OD. Через точку M, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых относятся как 1:4. Найдите длину этой хорды.

Задача 1

Давай решим первую задачу. Здесь нам понадобится теорема о пропорциональных отрезках, образованных параллельными прямыми. В нашем случае, \(AB \parallel CD\), и мы можем использовать подобие треугольников.

Рассмотрим треугольники \(\triangle MAC\) и \(\triangle MBC\). У них есть вертикальные углы при точке M, и углы при параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) равны, следовательно, эти треугольники подобны.

Запишем отношение сторон из подобия: \[\frac{MA}{MB} = \frac{AC}{BD}\] Подставим известные значения: \[\frac{12}{MB} = \frac{4}{6}\] Теперь найдём MB: \[MB = \frac{12 \cdot 6}{4} = \frac{72}{4} = 18\text{ см}\]

Ответ: MB = 18 см

Задача 2

Для второй задачи мы будем использовать свойство подобия треугольников, а именно, отношение сходственных сторон.

Так как треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\) подобны, то справедливо отношение: \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\] Мы знаем: \(AB = 8\) см, \(BC = 10\) см, \(A_1B_1 = 4\) см, \(A_1C_1 = 6\) см. Надо найти \(B_1C_1\) и \(AC\).

Сначала найдём \(B_1C_1\): \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \Rightarrow \frac{8}{4} = \frac{10}{B_1C_1}\] \[B_1C_1 = \frac{10 \cdot 4}{8} = \frac{40}{8} = 5\text{ см}\]

Теперь найдём \(AC\): \[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \Rightarrow \frac{8}{4} = \frac{AC}{6}\] \[AC = \frac{8 \cdot 6}{4} = \frac{48}{4} = 12\text{ см}\]

Ответ: \(B_1C_1 = 5\) см, \(AC = 12\) см

Задача 3

В третьей задаче мы имеем дело с биссектрисой и пропорциональными отрезками в треугольнике. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

По теореме о биссектрисе: \[\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{AC}\] Подставим известные значения: \[\frac{8}{18} = \frac{12}{AC}\] Найдём AC: \[AC = \frac{12 \cdot 18}{8} = \frac{216}{8} = 27\text{ см}\]

Ответ: AC = 27 см

Задача 4

В четвёртой задаче у нас снова подобие треугольников. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный исходному.

Так как \(MK \parallel AC\), то \(\triangle MBK \sim \triangle ABC\). Следовательно: \[\frac{BM}{BC} = \frac{MK}{AC}\]

Мы знаем, что \(BM:MC = 2:9\), значит, \(BM = 2x\) и \(MC = 9x\), где \(x\) - коэффициент пропорциональности. Тогда \(BC = BM + MC = 2x + 9x = 11x\).

Подставим известные значения в отношение: \[\frac{2x}{11x} = \frac{18}{AC}\] \[\frac{2}{11} = \frac{18}{AC}\] Найдём AC: \[AC = \frac{18 \cdot 11}{2} = \frac{198}{2} = 99\text{ см}\]

Ответ: AC = 99 см

Задача 5

В пятой задаче рассмотрим трапецию и пропорциональные отрезки, образованные диагоналями.

Так как \(BC \parallel AD\), то \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\). Следовательно: \[\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}\]

Мы знаем, что \(BC:AD = 3:5\), значит, \[\frac{BO}{OD} = \frac{3}{5}\] Пусть \(BO = 3y\) и \(OD = 5y\), где \(y\) - коэффициент пропорциональности. Тогда \(BD = BO + OD = 3y + 5y = 8y\).

Мы знаем, что \(BD = 24\) см, значит: \[8y = 24\Rightarrow y = 3\] Тогда \(BO = 3 \cdot 3 = 9\) см и \(OD = 5 \cdot 3 = 15\) см.

Ответ: BO = 9 см, OD = 15 см

Задача 6

В шестой задаче нам понадобится теорема о секущей и касательной к окружности, а также теорема о пересекающихся хордах.

Пусть хорда делится точкой M на отрезки \(x\) и \(4x\). Тогда вся хорда равна \(5x\).

По теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, проходящей через ту же точку.

Расстояние от точки M до центра окружности равно 15 см, а радиус равен 17 см. Тогда отрезок от точки M до дальней точки окружности равен \(17 + 15 = 32\) см, а отрезок от точки M до ближней точки окружности равен \(17 - 15 = 2\) см. Значит, вторая хорда (диаметр) делится точкой M на отрезки 32 см и 2 см.

Тогда, \[x \cdot 4x = 32 \cdot 2\] \[4x^2 = 64\] \[x^2 = 16\] \[x = 4\text{ см}\]

Значит, длина хорды равна \(5x = 5 \cdot 4 = 20\) см.

Ответ: 20 см

Ты отлично поработал! Задачи решены верно. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!