На рисунке 132 \(AB = AC\), \(AD = DE\), \(DE \parallel AC\). Докажите, что \(AE \perp BC\).

Так как \(AB = AC\), то треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(BC\). Следовательно, углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\).

Так как \(AD = DE\), то треугольник \(ADE\) равнобедренный с основанием \(AE\). Следовательно, углы при основании равны: \(\angle DAE = \angle DEA\).

Так как \(DE \parallel AC\), то угол \(\angle DEA\) равен углу \(\angle EAC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(DE\) и \(AC\) и секущей \(AE\): \(\angle DEA = \angle EAC\).

Аналогично, угол \(\angle ADE\) равен углу \(\angle DAC\) как соответственные углы при параллельных прямых \(DE\) и \(AC\) и секущей \(AD\).

Из равенства \(\angle DEA = \angle EAC\) и того, что \(\angle DAE = \angle DEA\), следует, что \(\angle DAE = \angle EAC\), то есть \(AE\) является биссектрисой угла \(\angle DAC\).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, также является высотой. Следовательно, \(AE\), являясь биссектрисой угла при вершине равнобедренного треугольника \(ABC\), также является высотой, то есть \(AE \perp BC\).