На рисунке 68 ∠BAC=∠DEC= 90°, ∠ABC=55°, ∠CDE= =35°. Докажите, что BC⊥CD. 2. В треугольнике ABC ∠C=90°, внешний угол при вершине В равен 150°, АА₁ — биссектриса, АА₁=20 см. Найдите А₁С.

Задача 1

• Дано: ∠BAC = ∠DEC = 90°, ∠ABC = 55°, ∠CDE = 35°
• Доказать: BC ⊥ CD

Решение:

• Рассмотрим треугольник ABC:
• ∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 90° - 55° = 35°
• Рассмотрим треугольник CDE:
• ∠DCE = 180° - ∠DEC - ∠CDE = 180° - 90° - 35° = 55°
• ∠BCD = 180° - ∠BCA - ∠DCE = 180° - 35° - 55° = 90°
• Следовательно, BC ⊥ CD

Задача 2

• Дано: ΔABC, ∠C = 90°, внешний угол при B равен 150°, AA₁ - биссектриса, AA₁ = 20 см
• Найти: A₁C

Решение:

• Внешний угол при B равен 150°, значит ∠ABC = 180° - 150° = 30°
• Так как AA₁ - биссектриса, то ∠BAA₁ = ∠CAA₁ = 45°
• Рассмотрим треугольник ABA₁:
• ∠AA₁B = 180° - ∠BAA₁ - ∠ABA₁ = 180° - 45° - 30° = 105°
• Рассмотрим треугольник AA₁C:
• ∠AA₁C = 180° - ∠AA₁B = 180° - 105° = 75°
• ∠A₁AC = 45°
• ∠ACA₁ = 180° - ∠AA₁C - ∠A₁AC = 180° - 75° - 45° = 60°

Применим теорему синусов для треугольника AA₁C:

\[ \frac{A_1C}{\sin \angle A_1AC} = \frac{AA_1}{\sin \angle ACA_1} \]

\[ A_1C = \frac{AA_1 \cdot \sin \angle A_1AC}{\sin \angle ACA_1} = \frac{20 \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{20 \cdot \sqrt{6}}{3} \approx 16.33 \text{ см} \]