На рисунке 349 AB = BC, ∠ABO = ∠CBO. Докажите, что ∠DAO = ∠DCO.

Доказательство:

1. Т.к. ∠ABO = ∠CBO, то BO - биссектриса ∠ABC.
2. Т.к. AB = BC, то ΔABC - равнобедренный с основанием AC.
3. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, BO - медиана и высота ΔABC.
4. Т.к. BO - медиана, то AO = OC.
5. Рассмотрим ΔABO и ΔCBO:
• AB = BC (по условию)
• BO - общая сторона
• AO = OC (BO - медиана)
6. Следовательно, ΔABO = ΔCBO по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAO = ∠BCO.
8. Т.к. BO - высота, то ∠AOB = ∠COB = 90°.
9. Рассмотрим ΔADO и ΔCDO:
• AO = OC (BO - медиана)
• DO - общая сторона
• ∠AOD = ∠COD = 90° (BO - высота)
10. Следовательно, ΔADO = ΔCDO по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников).
11. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠DAO = ∠DCO.

Что и требовалось доказать.