144 На рисунке 82 AB=CD, AD = BC, BE – биссектриса угла ABC, а DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔΑΒΕ = ACDF.

Для доказательства равенства углов ∠ABE и ∠ADF, равенства треугольников ΔΑΒΕ и ACDF рассмотрим рисунок 82.

а) Рассмотрим треугольники △ABC и △CDA:

1. Сторона AC – общая;
2. AB = CD (по условию);
3. BC = AD (по условию).

Следовательно, △ABC = △CDA по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠B = ∠D.

Т.к. BE – биссектриса угла ABC, а DF - биссектриса угла ADC, то углы ∠ABE = ∠ADF, т.к. они равны половине равных углов.

б) Рассмотрим треугольники △ABE и △ADF:

1. AB = CD (по условию);
2. ∠BAE = ∠DCF (т.к. △ABC = △CDA);
3. ∠ABE = ∠ADF (по доказанному выше).

Следовательно, ΔΑΒΕ = ACDF по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: Углы ∠ABE и ∠ADF равны, треугольники ΔΑΒΕ и ACDF равны, что и требовалось доказать.