На рисунке 4 AM = 5 см, MB = 10 см, AC = 12 см. Найдите площадь четырёхугольника АМКС.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Сначала нам нужно понять, что от нас требуется. Нам дан треугольник ABC, в котором отрезок MK параллелен стороне BC. Требуется найти площадь четырёхугольника AMKC. 1. Найдем коэффициент подобия треугольников AMK и ABC. Мы знаем, что AM = 5 см и MB = 10 см, следовательно, AB = AM + MB = 5 + 10 = 15 см. Коэффициент подобия k равен отношению сходственных сторон, то есть: \[ k = \frac{AM}{AB} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] 2. Определим, какие стороны треугольника ABC соответствуют сторонам треугольника AMK. Поскольку MK || BC, треугольники AMK и ABC подобны. Это значит, что: * Сторона AC соответствует стороне AK * Сторона AB соответствует стороне AM * Сторона BC соответствует стороне MK 3. Выразим площадь треугольника AMK через площадь треугольника ABC. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{AMK}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] Следовательно, \[ S_{AMK} = \frac{1}{9} S_{ABC} \] 4. Найдем площадь треугольника ABC. Так как треугольник ABC прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \] Нам известно, что AC = 12 см. Чтобы найти BC, нужно воспользоваться подобием треугольников. \[ \frac{AK}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3} \] Следовательно, AK = \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 \text{ см} KC = AC - AK = 12 - 4 = 8 \text{ см} \] Рассмотрим подобие треугольников. \[ \frac{MK}{BC} = \frac{AM}{AB} \] \[ BC = 3MK \] Также рассмотрим подобие треугольников ACK и ABC \[ \frac{KC}{AC} = \frac{BC}{AB} \] Тогда \[\frac{BC}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Получается \[ BC = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \text{ см} \] Подставляем значения: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \text{ см}^2 \] 5. Найдем площадь треугольника AMK. Используя найденную ранее формулу: \[ S_{AMK} = \frac{1}{9} S_{ABC} = \frac{1}{9} \cdot 60 = \frac{20}{3} \text{ см}^2 \] 6. Найдем площадь четырехугольника AMKC. Чтобы найти площадь четырехугольника AMKC, нужно из площади треугольника ABC вычесть площадь треугольника AMK: \[ S_{AMKC} = S_{ABC} - S_{AMK} = 60 - \frac{20}{3} = \frac{180 - 20}{3} = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3} \text{ см}^2 \]

Ответ: 53\(\frac{1}{3}\) см²

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!