1. На рисунке 1 АВ || СД. а) Докажите, что АО: ОС = ВО : ОД. б) Найдите АВ, если ОД = 15 см, ОВ = 9 см, СД = 25 см.

a) Доказательство, что $$AO : OC = BO : OD$$.

1. Рассмотрим треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$.
2. Угол $$\angle AOB = \angle COD$$ как вертикальные.
3. Угол $$\angle OAB = \angle OCD$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AC$$.
4. Следовательно, треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).
5. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$, что и требовалось доказать.

б) Найдите $$AB$$, если $$OD = 15 \text{ см}$$, $$OB = 9 \text{ см}$$, $$CD = 25 \text{ см}$$.

1. Так как треугольники $$ABO$$ и $$CDO$$ подобны, то $$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$$.
2. Подставим известные значения: $$\frac{AB}{25} = \frac{9}{15}$$.
3. Решим уравнение относительно $$AB$$: $$AB = \frac{9 \cdot 25}{15} = \frac{9 \cdot 5}{3} = 3 \cdot 5 = 15 \text{ см}$$.

Ответ: а) Доказано, б) 15 см