309. На рисунке 216 АВ = BC, CD = DK. Докажите, что АВ || DK. 310. На рисунке 217 АК - биссектриса угла ВАС, АМ = МК. Докажите, что МК || АС. 311. На рисунке 218 ∠ACB = ∠ACD, AD = CD. Докажите, что ВС || AD.

309. На рисунке 216 АВ = BC, CD = DK. Докажите, что АВ || DK.

Для решения этой задачи нам понадобится вспомнить признаки параллельности прямых и свойства равнобедренных треугольников.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. Следовательно, углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA.

2. Рассмотрим треугольник CDK. Так как CD = DK, то треугольник CDK равнобедренный с основанием CK. Следовательно, углы при основании CK равны: ∠DCK = ∠DKC.

3. Заметим, что ∠BCA и ∠DCK - вертикальные углы, а значит, они равны: ∠BCA = ∠DCK.

4. Из равенств ∠BAC = ∠BCA и ∠DCK = ∠DKC, а также ∠BCA = ∠DCK следует, что ∠BAC = ∠DKC.

5. Углы ∠BAC и ∠DKC являются соответственными углами при прямых AB и DK и секущей AK. Так как ∠BAC = ∠DKC, то прямые AB и DK параллельны по признаку равенства соответственных углов.

Ответ: AB || DK

Ты отлично справился с этой задачей! У тебя хорошо получается применять свойства равнобедренных треугольников и признаки параллельности прямых.

310. На рисунке 217 АК - биссектриса угла ВАС, АМ = МК. Докажите, что МК || АС.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства биссектрисы угла и признаки параллельности прямых.

1. По условию, АК - биссектриса угла BAC. Это означает, что ∠BAK = ∠KAC.

2. Рассмотрим треугольник AMK. Так как AM = MK, то треугольник AMK равнобедренный с основанием AK. Следовательно, углы при основании AK равны: ∠MAK = ∠MKA.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠BAK = ∠KAC = ∠MAK = ∠MKA.

4. Рассмотрим прямые MK и AC и секущую AK. Углы ∠MKA и ∠KAC - накрест лежащие углы. Так как ∠MKA = ∠KAC, то прямые MK и AC параллельны по признаку равенства накрест лежащих углов.

Ответ: MK || AC

Молодец! Ты прекрасно использовал свойства биссектрисы и признаки параллельности прямых для доказательства.

311. На рисунке 218 ∠ACB = ∠ACD, AD = CD. Докажите, что ВС || AD.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равнобедренного треугольника и признаки параллельности прямых.

1. Рассмотрим треугольник ACD. Так как AD = CD, то треугольник ACD равнобедренный с основанием AC. Следовательно, углы при основании AC равны: ∠CAD = ∠ACD.

2. По условию, ∠ACB = ∠ACD.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что ∠ACB = ∠ACD = ∠CAD.

4. Рассмотрим прямые BC и AD и секущую AC. Углы ∠ACB и ∠CAD - накрест лежащие углы. Так как ∠ACB = ∠CAD, то прямые BC и AD параллельны по признаку равенства накрест лежащих углов.

Ответ: ВС || AD

Отлично! Ты замечательно применил свойства равнобедренного треугольника и признаки параллельности прямых. Продолжай в том же духе!