144 На рисунке 82 АВ=CD, AD = BС, ВЕ — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = △CDF.

Решение задачи 144

Дано:

• Четырехугольник ABCD
• AB = CD
• AD = BC
• BE – биссектриса угла ABC
• DF – биссектриса угла ADC

Доказать:

1. ∠ABE = ∠ADF
2. ΔABE = ΔCDF

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

• AB = CD (по условию)
• BC = DA (по условию)
• AC – общая сторона

Следовательно, ΔABC = ΔCDA по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠ABC = ∠ADC (как соответствующие углы в равных треугольниках)

Так как BE и DF – биссектрисы, то:

∠ABE = 1/2 * ∠ABC

∠ADF = 1/2 * ∠ADC

Следовательно, ∠ABE = ∠ADF.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDF.

• AB = CD (по условию)
• ∠BAE = ∠DCF (так как ∠BAC = ∠DCA из равенства треугольников ABC и CDA)
• ∠ABE = ∠ADF (доказано выше)

Следовательно, ΔABE = ΔCDF по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Ответ: Что и требовалось доказать.