Решение:

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы, связывающие радиусы вписанной и описанной окружностей, сторону правильного треугольника, его периметр и площадь.

Обозначения:

• R - радиус описанной окружности
• r - радиус вписанной окружности
• a₃ - сторона правильного треугольника
• P - периметр треугольника
• S - площадь треугольника

Формулы:

• $$a_3 = R\sqrt{3}$$
• $$r = \frac{R}{2}$$
• $$P = 3a_3$$
• $$S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$$

Заполняем таблицу:

1. Строка 1: R = 3

   • $$a_3 = 3\sqrt{3}$$
   • $$r = \frac{3}{2} = 1.5$$
   • $$P = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$
   • $$S = \frac{(3\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$$

2. Строка 3: r = 2

   • $$R = 2r = 4$$
   • $$a_3 = 4\sqrt{3}$$
   • $$P = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$
   • $$S = 10$$ (дано в условии)

3. Строка 4: a₃ = 5

   • $$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$$
   • $$r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$$
   • $$P = 3 \cdot 5 = 15$$
   • $$S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$$

4. Строка 5: P = 6

   • $$a_3 = \frac{P}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
   • $$R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$
   • $$r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
   • $$S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$$

Итоговая таблица: