1. На рисунке 16 EF || DC, АЕ = 40 см. AF = 24 CM, FC = 9 см. Найдите отре зок ED. 2. Треугольники АВС и А,В,С, подобны, причём сторонам АВ и ВС соответству ют стороны А,В, и В,С. Найдите неиз вестные стороны этих треугольников, ес ли ВС = 22 см, АС = 14 см, В,С₁ = 33 см, А,В₁ = 15 см. Рис. 16 D E A FC СЕ = 6 см. 3. Отрезок АЕ — биссектриса треугольника ABC, AB = 32 см, АС = 16 см, Найдите отрезок ВЕ. 4. На стороне АС треугольника АВС отметили точку Е так, что AE: CE = 2:7. Через точку Е провели прямую, которая параллельна стороне АВ треугольника и пересекает сторону ВС в точке F. Найди- те сторону АВ, если EF = 21 см.

1.

Давай решим первую задачу. Нам дано, что EF || DC, AE = 40 см, AF = 24 см, FC = 9 см. Нужно найти ED.

Так как EF || DC, то треугольники AEF и ADC подобны по двум углам (угол A - общий, углы AEF и ADC равны как соответственные при параллельных прямых EF и DC и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{AE}{AD} = \frac{AF}{AC}\]

Мы знаем, что AE = 40 см, AF = 24 см, FC = 9 см. Найдем AC:

AC = AF + FC = 24 + 9 = 33 см

Подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{40}{AD} = \frac{24}{33}\]

Выразим AD:

\[AD = \frac{40 \cdot 33}{24} = \frac{40 \cdot 11}{8} = 5 \cdot 11 = 55 \text{ см}\]

Теперь найдем ED:

ED = AD - AE = 55 - 40 = 15 см

Ответ: ED = 15 см

---

2.

Теперь решим вторую задачу. Дано, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, причем сторонам AB и BC соответствуют стороны A₁B₁ и B₁C₁. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если BC = 22 см, AC = 14 см, B₁C₁ = 33 см, A₁B₁ = 15 см.

Так как треугольники подобны, то отношения соответствующих сторон равны:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

Известно: BC = 22 см, AC = 14 см, B₁C₁ = 33 см, A₁B₁ = 15 см.

Найдем AB:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}\] \[\frac{AB}{15} = \frac{22}{33}\] \[AB = \frac{15 \cdot 22}{33} = \frac{15 \cdot 2}{3} = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}\]

Найдем A₁C₁:

\[\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}\] \[\frac{14}{A_1C_1} = \frac{22}{33}\] \[A_1C_1 = \frac{14 \cdot 33}{22} = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21 \text{ см}\]

Ответ: AB = 10 см, A₁C₁ = 21 см

---

3.

Давай решим третью задачу. Отрезок AE - биссектриса треугольника ABC, AB = 32 см, AC = 16 см, CE = 6 см. Найдите отрезок BE.

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

То есть:

\[\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{BE}{6} = \frac{32}{16}\] \[\frac{BE}{6} = 2\]

BE = 6 * 2 = 12 см

Ответ: BE = 12 см

---

4.

Решим четвертую задачу. На стороне AC треугольника ABC отметили точку E так, что AE:CE = 2:7. Через точку E провели прямую, которая параллельна стороне AB треугольника и пересекает сторону BC в точке F. Найдите сторону AB, если EF = 21 см.

Так как EF || AB, то треугольники ABC и EFC подобны по двум углам (угол C - общий, углы EFC и ABC равны как соответственные при параллельных прямых EF и AB и секущей BC).

Из подобия треугольников следует пропорция:

\[\frac{EF}{AB} = \frac{CE}{AC}\]

Нам дано AE:CE = 2:7, значит, можно записать AE = 2x, CE = 7x. Тогда AC = AE + CE = 2x + 7x = 9x.

Таким образом:

\[\frac{CE}{AC} = \frac{7x}{9x} = \frac{7}{9}\]

Подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{21}{AB} = \frac{7}{9}\]

Выразим AB:

\[AB = \frac{21 \cdot 9}{7} = 3 \cdot 9 = 27 \text{ см}\]

Ответ: AB = 27 см