178 На рисунке 98 изображено дерево случайного эксперимента. Известно, что в каждой точке ветвления вероятности переходов к последующим событиям одинаковы. Событие С в этом эксперименте выделено. Изобразите дерево в своей тетради. а) Напишите около рёбер соответствующие вероятности. б) Выделите цепи, которые изображают элементарные события, благоприятст вующие событию С. в) Найдите вероятность события С.

Решение:

Дерево случайного эксперимента на рисунке 98 имеет три уровня ветвления. В каждой точке ветвления вероятности переходов к последующим событиям одинаковы. Так как из начальной точки выходит 3 ребра, то вероятность каждого ребра равна $$1/3$$. Далее, из каждой следующей вершины выходит 2 ребра, поэтому вероятность каждого ребра равна $$1/2$$.

a) Расставим вероятности около рёбер дерева:

      S
     / \
1/3 /   \ 1/3
   /     \
  A       B
 / \     / \
1/2/   \1/21/2/   \1/2
/     \ /     \
C       D E       F

б) Выделим цепи, которые изображают элементарные события, благоприятствующие событию C: SC, SЕ.

в) Найдем вероятность события C.

Вероятность цепи SAС равна произведению вероятностей каждого перехода:

$$P(SAC) = P(SA) \cdot P(AC) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

Вероятность цепи SBE равна произведению вероятностей каждого перехода:

$$P(SBE) = P(SB) \cdot P(BE) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

Вероятность события C равна сумме вероятностей благоприятствующих элементарных событий:

$$P(C) = P(SAC) + P(SBE) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Ответ: $$P(C) = \frac{1}{3}$$