На рисунке 54 OA = OD, OB = OC, ∠1 = 74°, ∠2=36°. а) Докажите, что треугольники АОВ И ДОС равны; б) найдите ZACD.

а) Рассмотрим треугольники АОВ и DOC.

OA = OD (по условию), OB = OC (по условию), ∠AOB = ∠DOC (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОВ и DOC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) ∠1 = 74°, ∠2 = 36°.

В треугольнике AOB: ∠ABO = 180° - (∠1 + ∠AOB).

∠AOB = ∠DOC (как вертикальные).

∠OAD = ∠ODA (так как треугольник AOD равнобедренный, OA = OD).

∠OAD = (180 - ∠DOC) / 2.

∠OCB = ∠OBC (так как треугольник BOC равнобедренный, OB = OC).

∠OCB = (180 - ∠DOC) / 2.

∠ACD = ∠OCB - ∠2 = (180 - ∠DOC) / 2 - ∠2.

Рассмотрим четырехугольник AOBC. ∠AOB + ∠1 + ∠2 + ∠ACB = 360°.

∠DOC = ∠AOB = 360° - ∠1 - ∠2 - ∠ACB.

∠ACB = ∠ACO + ∠OCB. Значит, ∠ACD = ∠OCB - ∠2.

∠ACD = (180 - ∠DOC) / 2 - ∠2.

Так как ∠1 = 74°, ∠2 = 36°, то ∠AOB = 180 - 74 - x.

Треугольники AOB и DOC равны, следовательно ∠OAB = ∠ODC и ∠OBA = ∠OCD.

∠ACD = ∠OCD - ∠OCA.

∠ACD = ∠OBA - ∠OCA.

Треугольник AOD - равнобедренный (OA=OD), значит углы при основании равны. ∠OAD=∠ODA = (180-∠AOD)/2.

∠AOD = ∠BOC (вертикальные), значит ∠BOC = ∠AOD.

Треугольник ВОС - равнобедренный (ОВ=ОС), значит углы при основании равны. ∠OBC = ∠OCB = (180-∠BOC)/2.

∠OCB = ∠OBC = (180-∠AOD)/2.

∠ACD = ∠OCB - ∠2 = (180-∠AOD)/2 - 36 = (180-∠AOD-72)/2 = (108-∠AOD)/2.

Рассмотрим треугольник АОВ: ∠АОВ + ∠OAB + ∠OBA = 180°.

∠AOB + 74° + ∠OBA = 180°, значит ∠AOB = 106 - ∠OBA.

∠AOB = ∠DOC (вертикальные), значит ∠DOC = 106 - ∠OBA.

Рассмотрим треугольник DOC: ∠DOC + ∠ODC + ∠OCD = 180°.

∠DOC + (180-∠AOD)/2 + ∠OCD = 180°.

∠OCD = ∠OBA.

(106 - ∠OBA) + (180-(106 - ∠OBA))/2 + ∠OBA = 180.

106 - ∠OBA + 87 + ∠OBA/2 + ∠OBA = 180.

∠OBA/2 = -13.

∠OBA = -26. Что невозможно.

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (OA = OD, OB = OC, углы AOB и DOC вертикальные).

∠1 = 74°, ∠2 = 36°.

∠OBC = (180 - ∠BOC) / 2

∠ACD = ∠OCB - ∠2 = (180 - ∠BOC) / 2 - 36.

∠AOB + ∠1 + ∠OBA = 180

∠DOC = ∠AOB.

∠AOD = ∠BOC (вертикальные).

Рассмотрим четырехугольник АОВС. ∠ОАВ + ∠OBC + ∠BCA + ∠AOB = 360.

∠AOB = 180 - ∠1 - ∠OBA.

∠BCA = ∠ACD + ∠2.

∠1 = 74°. ∠2 = 36°.

∠AOD = ∠BOC. AO = OD, BO = OC.

∠OAD = ∠ODA = (180 - ∠AOD) / 2.

∠OCB = ∠OBC = (180 - ∠BOC) / 2.

∠BOC = ∠AOD.

∠OAD = ∠ODA = ∠OCB = ∠OBC. Следовательно ∠BOC = ∠AOD.

Ответ: Невозможно определить угол ∠ACD.