На рисунке 247 отрезки М№ и РК параллельны отрезку ВС. Найдите: а) отрезки АN и КС; б) периметр ДАВС (все размеры даны в см).

Решение:

а) Рассмотрим рисунок 247. Отрезки MN и PK параллельны отрезку BC.

Для нахождения длин отрезков AN и KC, воспользуемся теоремой Фалеса, которая гласит: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

В нашем случае, так как MN || BC и PK || BC, мы можем воспользоваться подобием треугольников.

Рассмотрим треугольники AMN и ABC. Они подобны, следовательно, можем записать отношение сторон:

$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$

Из рисунка видно, что AM = 4, MB = 6, следовательно, AB = AM + MB = 4 + 6 = 10.

Пусть AN = x, тогда:

$$\frac{4}{10} = \frac{x}{AC}$$

Нам нужно найти AC, чтобы выразить x. Заметим, что AC = AN + NK + KC = x + 9 + y, где KC = y.

Также, рассмотрим треугольники APK и ABC. Они подобны, следовательно, можем записать отношение сторон:

$$\frac{AP}{AB} = \frac{AK}{AC}$$

AP = AM + MP = 4 + 3 = 7. AK = AN + NK = x + 9

$$\frac{7}{10} = \frac{x + 9}{AC}$$

Теперь у нас есть два уравнения:

1. $$\frac{4}{10} = \frac{x}{x + 9 + y}$$
2. $$\frac{7}{10} = \frac{x + 9}{x + 9 + y}$$

Выразим из первого уравнения x + 9 + y:

$$x + 9 + y = \frac{10x}{4} = \frac{5x}{2}$$

Подставим это во второе уравнение:

$$\frac{7}{10} = \frac{x + 9}{\frac{5x}{2}}$$ $$\frac{7}{10} = \frac{2(x + 9)}{5x}$$ $$35x = 20(x + 9)$$ $$35x = 20x + 180$$ $$15x = 180$$ $$x = 12$$

Итак, AN = 12 см.

Теперь найдем KC = y. Подставим x = 12 в уравнение:

$$12 + 9 + y = \frac{5 \cdot 12}{2}$$ $$21 + y = 30$$ $$y = 9$$

Итак, KC = 9 см.

б) Найдем периметр треугольника ABC. Периметр - это сумма длин всех сторон треугольника.

AB = 10 см

AC = AN + NK + KC = 12 + 9 + 9 = 30 см

BC = BP + PC = 3 + 11.5 = 14.5 см

Периметр = AB + AC + BC = 10 + 30 + 14.5 = 54.5 см.

Ответ: а) AN = 12 см, KC = 9 см; б) периметр равен 54.5 см.