191 На рисунке 111 прямые а и в пересечены прямой с. Докажите, что а||b, если: a) ∠1 = 37°, <7 = 143°; б) ∠1 = ∠6; в) 1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3. 192 По данным рисунка 112 докажите, что AB || DE. 193 Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. 194 Используя данные рисунка 113, докажите, что ВС || AD. 195 На рисунке 114 АВ = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE || AC. 196 Отрезок ВК биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны. 197 В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ. 198 В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Че- рез вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС - биссектриса угла АBD. Дока-

Давай разберем по порядку эти геометрические задачи.

191

Для доказательства параллельности прямых a и b, необходимо проверить выполнение одного из признаков параллельности:

• соответственные углы равны,
• накрест лежащие углы равны,
• сумма односторонних углов равна 180°.

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°

Углы 1 и 7 - односторонние. Если их сумма равна 180°, то прямые a и b параллельны. Проверим:

∠1 + ∠7 = 37° + 143° = 180°

Следовательно, a || b.

б) ∠1 = ∠6

Углы 1 и 6 - соответственные. Если они равны, то прямые a и b параллельны. По условию ∠1 = ∠6, следовательно, a || b.

в) ∠1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3.

∠1 = 45°. Угол 3 является вертикальным с углом 1, следовательно ∠3 = ∠1 = 45°.

∠7 = 3 * ∠3 = 3 * 45° = 135°

Углы 1 и 7 - односторонние. Проверим, равна ли их сумма 180°:

∠1 + ∠7 = 45° + 135° = 180°

Следовательно, a || b.

192

Для доказательства, что AB || DE, нужно показать, что соответствующие углы равны или сумма односторонних углов равна 180°.

К сожалению, рисунок 112 отсутствует, поэтому невозможно доказать утверждение.

193

Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.

Пусть O - точка пересечения отрезков AB и CD. Тогда AO = OB и CO = OD. Рассмотрим треугольники AOC и BOD.

AO = OB, CO = OD, и ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует, что ∠CAO = ∠DBO. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AB. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || BD.

194

Используя данные рисунка 113, докажите, что BC || AD.

К сожалению, рисунок 113 отсутствует, поэтому невозможно доказать утверждение.

195

На рисунке 114 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажите, что DE || AC.

Поскольку AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ABC = 180° - 2 * ∠BCA = 180° - 2 * 70° = 40°.

∠BAE = ∠BAC + ∠EAC = 70° + 35° = 105°.

Поскольку AD = DE, треугольник ADE - равнобедренный. Следовательно, ∠DAE = ∠DEA.

∠ADE = 180° - ∠CDE. Также ∠CDE = ∠BAC + ∠EAC = 70° + 35° = 105°.

∠ADE = 180° - ∠CDE = 180° - 105° = 75°.

Тогда ∠DAE = ∠DEA = (180° - ∠ADE) / 2 = (180° - 75°) / 2 = 52.5°.

Чтобы доказать, что DE || AC, нужно показать, что ∠DEA = ∠EAC или ∠ADE + ∠C = 180°.

∠DEA = 52.5°, ∠EAC = 35°, следовательно, DE не параллельна AC.

196

Отрезок BK - биссектриса треугольника ABC. Через точку K проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке M так, что BM = MK. Докажите, что прямые KM и AB параллельны.

Так как BK - биссектриса угла ABC, то ∠ABK = ∠KBС.

По условию BM = MK, следовательно, треугольник BMK - равнобедренный, и ∠MBK = ∠MKB.

Таким образом, ∠ABK = ∠MBK = ∠MKB. Углы ABK и MKB - накрест лежащие при прямых AB и KM и секущей BK. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, KM || AB.

197

В треугольнике ABC угол A равен 40°, а угол BCE, смежный с углом ACB, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла BCE параллельна прямой AB.

∠BCE = 80° - смежный с углом ACB. Значит ∠ACB = 180° - 80° = 100°.

В треугольнике ABC: ∠A = 40°, ∠ACB = 100°. Следовательно, ∠ABC = 180° - 40° - 100° = 40°.

Пусть CL - биссектриса угла BCE. Тогда ∠BCL = ∠ECL = 80° / 2 = 40°.

Рассмотрим углы ABC и BCL. Они являются соответственными при прямых AB и CL и секущей BC. Так как ∠ABC = ∠BCL = 40°, то AB || CL.

198

В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч BC - биссектриса угла ABD. Доказать, что луч BC - биссектриса угла ABD.

В треугольнике ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Тогда ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°.

Так как BC - биссектриса угла ABD, то ∠ABC = ∠CBD. ∠ABC = 70°, следовательно, ∠CBD = 70°.

∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 70° + 70° = 140°.

Вывод: Луч BC - биссектриса угла ABD, так как делит угол ABD пополам (∠ABC = ∠CBD).

Ответ: Решения выше.