167. На рисунке 131 прямые ЛЕ, AF и ВС касаются окружности в точках Е, F и D соответствен но. Найдите периметр треуголь ника АВС, если АЕ = 5 см.

Ответ: 10 см

Решение:

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

• AE = AF
• BE = BD
• CF = CD

Периметр треугольника ABC равен:

\[P = AB + BC + AC = (AE + BE) + (BD + CD) + (AF + CF)\]

Так как BE = BD и CF = CD, то можно переписать периметр как:

\[P = (AE + BD) + (BD + CD) + (AF + CD) = AE + AF + 2BD + 2CD\]

Известно, что AE = AF, значит:

\[P = 2AE + 2BD + 2CD = 2AE + 2(BD + CD) = 2AE + 2BC\]

Но BC = BD + CD, и так как AE = AF = 5 см, то:

\[P = 2 \cdot AE = 2 \cdot 5 = 10\]

Ответ: 10 см