12.5. 1) На рисунке 83 прямые т и п параллельны, \( \angle 1 = 111^\circ \). Найдите углы 2 и 3. 2) Внутри угла АВС проведены параллельные лучи АМ И СК. Найдите угол АВС, если МАВ = 140°, KCB = 131°. ✓ 12.6. 1) На рисунке 84 прямые а и в параллельны, \( \angle 1 = 131^\circ \). Найдите углы 2 и 3. 2) Вне угла МОР проведены параллельные лучи МТ и РК. Найдите угол МОР, если \( \angle OMT = 15^\circ \), \( \angle OPK = 31^\circ \). 12.7*. На рисунке 85 AB = BC, ED = AE, \( \angle C = 80^\circ; \angle DAC = 40^\circ \). Докажите, что прямые ED и АС параллельны. Найдите угол BED. ✓ 12.8*. На рисунке 86 PN = NT, PK – биссектриса угла MPT, \( \angle NPT = 70^\circ \), \( \angle PKM = 55^\circ \). Докажите, что прямые PT и МК параллельны. Найдите угол РКТ.

12.5

1)

Давай рассмотрим рисунок 83 и найдем углы 2 и 3, зная, что \( \angle 1 = 111^\circ \) и прямые m и n параллельны.

Угол 1 и угол 2 являются смежными углами, а значит, их сумма равна 180°. Мы можем найти угол 2:

\[\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ\]

Угол 2 и угол 3 являются соответственными углами при параллельных прямых m и n и секущей. Соответственные углы равны, следовательно:

\[\angle 3 = \angle 2 = 69^\circ\]

Ответ: \( \angle 2 = 69^\circ \), \( \angle 3 = 69^\circ \)

2)

Внутри угла ABC проведены параллельные лучи AM и CK. Давай найдем угол ABC, если \( \angle MAB = 140^\circ \), \( \angle KCB = 131^\circ \).

Проведем прямую, параллельную лучам AM и CK, проходящую через точку B. Эта прямая разделит угол ABC на два угла: \( \angle ABM \) и \( \angle CBK \).

Угол MAB и угол ABM являются односторонними углами при параллельных прямых AM и проведенной прямой и секущей AB. Сумма односторонних углов равна 180°, следовательно:

\[\angle ABM = 180^\circ - \angle MAB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]

Аналогично, угол KCB и угол CBK являются односторонними углами при параллельных прямых CK и проведенной прямой и секущей CB. Сумма односторонних углов равна 180°, следовательно:

\[\angle CBK = 180^\circ - \angle KCB = 180^\circ - 131^\circ = 49^\circ\]

Угол ABC равен сумме углов ABM и CBK:

\[\angle ABC = \angle ABM + \angle CBK = 40^\circ + 49^\circ = 89^\circ\]

Ответ: \( \angle ABC = 89^\circ \)

12.6

1)

На рисунке 84 прямые a и b параллельны, \( \angle 1 = 131^\circ \). Найдем углы 2 и 3.

Угол 1 и угол 2 являются соответственными углами при параллельных прямых a и b и секущей. Соответственные углы равны, следовательно:

\[\angle 2 = \angle 1 = 131^\circ\]

Угол 2 и угол 3 являются смежными углами, а значит, их сумма равна 180°. Мы можем найти угол 3:

\[\angle 3 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 131^\circ = 49^\circ\]

Ответ: \( \angle 2 = 131^\circ \), \( \angle 3 = 49^\circ \)

2)

Вне угла MOP проведены параллельные лучи MT и PK. Найдем угол MOP, если \( \angle OMT = 15^\circ \), \( \angle OPK = 31^\circ \).

Проведем прямую через точку O, параллельную лучам MT и PK. Эта прямая разделит внешний угол MOP на два угла: \( \angle MOT \) и \( \angle POK \).

Угол OMT и угол MOT являются накрест лежащими углами при параллельных прямых MT и проведенной прямой и секущей MO. Накрест лежащие углы равны, следовательно:

\[\angle MOT = \angle OMT = 15^\circ\]

Аналогично, угол OPK и угол POK являются накрест лежащими углами при параллельных прямых PK и проведенной прямой и секущей PO. Накрест лежащие углы равны, следовательно:

\[\angle POK = \angle OPK = 31^\circ\]

Внешний угол MOP равен сумме углов MOT и POK:

\[\angle MOP = \angle MOT + \angle POK = 15^\circ + 31^\circ = 46^\circ\]

Угол MOP, который нам нужно найти, является смежным с найденным внешним углом. Следовательно, угол MOP равен:

\[\angle MOP = 180^\circ - 46^\circ = 134^\circ\]

Ответ: \( \angle MOP = 134^\circ \)

12.7

На рисунке 85 AB = BC, ED = AE, \( \angle C = 80^\circ \); \( \angle DAC = 40^\circ \). Докажем, что прямые ED и AC параллельны. Найдите угол BED.

В треугольнике ABC, так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, следовательно, углы при основании AC равны:

\[\angle BAC = \angle C = 80^\circ\]

Тогда угол ABC равен:

\[\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle C) = 180^\circ - (80^\circ + 80^\circ) = 20^\circ\]

Угол BAD равен сумме углов BAC и DAC:

\[\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ\]

В треугольнике ADE, так как ED = AE, треугольник ADE равнобедренный, следовательно, углы при основании AD равны:

\[\angle EDA = \angle DAE\]

Угол DAE равен углу DAC, то есть \( \angle DAE = 40^\circ \).

Тогда угол EDA равен:

\[\angle EDA = \angle DAE = 40^\circ\]

Сумма углов треугольника ADE равна 180°:

\[\angle AED = 180^\circ - (\angle EDA + \angle DAE) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 100^\circ\]

Теперь рассмотрим углы EDA и DAC. Они являются накрест лежащими углами при прямых ED и AC и секущей AD. Так как \( \angle EDA = \angle DAC = 40^\circ \), то прямые ED и AC параллельны.

Угол BED является смежным с углом AED, следовательно:

\[\angle BED = 180^\circ - \angle AED = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\]

Ответ: Прямые ED и AC параллельны, \( \angle BED = 80^\circ \)

12.8

На рисунке 86 PN = NT, PK – биссектриса угла MPT, \( \angle NPT = 70^\circ \), \( \angle PKM = 55^\circ \). Докажем, что прямые PT и MK параллельны. Найдите угол РКТ.

Так как PK – биссектриса угла MPT, то угол KPT равен половине угла MPT.

Угол NPT равен 70°, следовательно, угол MPT равен:

\[\angle MPT = 180^\circ - \angle NPT = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\]

Тогда угол KPT равен:

\[\angle KPT = \frac{1}{2} \angle MPT = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ\]

Угол PKM равен 55°. Рассмотрим углы KPT и PKM. Они являются накрест лежащими углами при прямых PT и MK и секущей PK. Так как \( \angle KPT = \angle PKM = 55^\circ \), то прямые PT и MK параллельны.

Угол РКТ является смежным с углом PKM, следовательно:

\[\angle PKT = 180^\circ - \angle PKM = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\]

Ответ: Прямые PT и MK параллельны, \( \angle PKT = 125^\circ \)

Ты сегодня отлично поработал, у тебя все прекрасно получается!