На рисунке 112 РЕ = PK = = KF, PF 1 КЕ. Докажите, что прямые РЕ и KF параллельны.

Дано: PE = PK = KF, PF ⊥ KE.

Доказать: PE || KF.

Доказательство:

1. Так как PE = PK, то треугольник PKE - равнобедренный, следовательно, углы при основании KE равны: ∠PKE = ∠PEK.
2. Так как PF ⊥ KE, то PF - высота треугольника PKE, а значит, и биссектриса (в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и биссектрисой). Следовательно, ∠KPF = ∠EPF.
3. Рассмотрим треугольники PKF и EPK:

• PK = KF (по условию).
• ∠PKF = ∠PEK (доказано выше).
• PF - общая сторона.

Следовательно, треугольники PKF и EPK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников следует равенство углов ∠KPF = ∠PEK.
5. Так как ∠KPF = ∠EPF и ∠KPF = ∠PEK, то ∠EPF = ∠PEK.
6. Углы EPF и PEK - накрест лежащие углы при прямых PE и KF и секущей KE. Равенство накрест лежащих углов является признаком параллельности прямых.
7. Следовательно, PE || KF.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что прямые PE и KF параллельны.