1.16. На рисунке 11.15 серединные перпендикуляры равных отрезков АВ и CD пересекают отрезок AD в его середине. Докажите, что AC = BD.

Доказательство:

• Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекают AD в точке O.
• Так как O — середина AD, то AO = OD.
• Так как серединный перпендикуляр к AB проходит через O, то AO = BO (как точки, равноудаленные от концов отрезка).
• Аналогично, так как серединный перпендикуляр к CD проходит через O, то CO = DO.
• Таким образом, AO = BO и CO = DO.
• Учитывая, что AO = OD, получаем AO = BO = CO = DO.
• Рассмотрим отрезки AC и BD: AC = AO + OC, BD = BO + OD.
• Так как AO = OD и OC = BO, то AC = OD + BO, что равно BO + OD, а это BD.

Следовательно, AC = BD.