На рисунке 68 точка О – центр окружности, ∠BOC = 40°. Найдите угол OBD. К окружности с центром О проведена касательная FK (K – точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°. В окружности с центром О проведены диаметр KB и хорды BC и BD так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что BC = BD.

Задание 1

1. Рассмотрим треугольник \(\triangle OCB\). Он равнобедренный, так как \(OC = OB\) (радиусы окружности).
2. Значит, углы при основании равны: \(\angle OBC = \angle OCB\).
3. Найдем углы \(\angle OBC\) и \(\angle OCB\): \(\angle OBC = \angle OCB = (180° - 40°) : 2 = 70°\).
4. Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle OBD\). Он также равнобедренный, так как \(OD = OB\) (радиусы окружности). Значит, \(\angle ODB = \angle OBD\).
5. Так как \(OD = OB\), \(\triangle OBD\) — равнобедренный, \(\angle OBD = \angle ODB\). Сумма углов треугольника равна 180°, а \(\angle BOD\) — центральный и опирается на ту же дугу, что и \(\angle BOC\), следовательно, \(\angle BOC = \angle BOD = 40°\).
6. Найдем \(\angle OBD\): \(\angle OBD = (180° - 40°) : 2 = 70°\).

Ответ: \(\angle OBD = 70°\)

Задание 2

1. \(OK\) — радиус, проведенный в точку касания \(K\), значит, \(OK \perp FK\).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OFK\). \(\angle FOK = 45°\), \(OK = 14\) см.
3. Найдем \(FK\). Так как \(\triangle OFK\) — прямоугольный, можно использовать тангенс угла \(\angle FOK\): \(\tan(\angle FOK) = \frac{FK}{OK}\).
4. \(\tan(45°) = 1\), значит, \(1 = \frac{FK}{14}\), следовательно, \(FK = 14\) см.

Ответ: \(FK = 14\) см.

Задание 3

1. По условию, \(\angle BOC = \angle BOD\).
2. \(OC = OD = OB\) как радиусы одной и той же окружности.
3. Рассмотрим треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle BOD\). У них \(OC = OD\), \(OB\) — общая сторона и \(\angle BOC = \angle BOD\).
4. Следовательно, \(\triangle BOC = \triangle BOD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что \(BC = BD\).

Доказано, что \(BC = BD\)