На рисунке 64 точка О – центр окружности, ∠MON = 68°. Найдите угол MKN. К окружности с центром О проведена касательная АВ (А – точка касания). Найдите радиус окружности, если ОВ = 10 см и ∠ABO = = 30°. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK.

Первая задача

Угол MKN является вписанным углом, опирающимся на дугу MN. Центральный угол MON также опирается на эту дугу.

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Следовательно, ∠MKN = 1/2 * ∠MON

∠MKN = 1/2 * 68° = 34°

Ответ: 34°

Вторая задача

Рассмотрим треугольник ABO. Так как AB является касательной к окружности, то угол OAB равен 90°.

В прямоугольном треугольнике ABO угол ABO равен 30°, а OB (гипотенуза) равен 10 см.

Нам нужно найти радиус окружности OA (противолежащий катет к углу ABO).

Используем синус угла ABO: sin(∠ABO) = OA / OB

sin(30°) = OA / 10

OA = 10 * sin(30°)

Так как sin(30°) = 1/2:

OA = 10 * 1/2 = 5 см

Ответ: 5 см