На рисунке 66 точка О – центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA. К окружности с центром О проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и ∠NOM = 30°. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что ∠OAK = ∠OBK (рис. 67). Докажите, что AK = BK. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и медиане, проведённой к нему. Даны угол и окружность. Найдите на окружности точку, принадлежащую углу и равноудалённую от его сторон. Сколько решений может иметь задача?

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Сначала найдем угол AOD, а затем, используя свойство радиусов, определим угол FOA.

∠OAD = 34°
OA = OD (как радиусы окружности), значит, треугольник OAD равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, ∠ODA = ∠OAD = 34°.
Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠AOD = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°.
∠AOD и ∠FOA – смежные углы, значит, их сумма равна 180°.
∠FOA = 180° - ∠AOD = 180° - 112° = 68°.

Ответ: ∠FOA = 68°

Краткое пояснение: Используем тригонометрические функции для нахождения длины MN.

OM – радиус, проведенный в точку касания, значит, OM перпендикулярен MN, и треугольник OMN – прямоугольный.
∠NOM = 30°, ON = 12 см.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, MN = ON * sin(30°) = 12 * 0.5 = 6 см.

Ответ: MN = 6 см

Краткое пояснение: Докажем равенство треугольников AOK и BOK.

Рассмотрим треугольники AOK и BOK.
OK – общая сторона.
OA = OB (как радиусы окружности).
∠OAK = ∠OBK (по условию).
Следовательно, треугольники AOK и BOK равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует, что AK = BK.

Что и требовалось доказать.

Краткое пояснение: Задача на построение.

Постройте основание равнобедренного треугольника (отрезок).
Разделите основание пополам (найдите середину).
Из середины основания проведите медиану заданной длины под произвольным углом к основанию.
Соедините конец медианы с концами основания.

Полученный треугольник – равнобедренный.

Краткое пояснение: Ищем точку пересечения биссектрисы угла и окружности.

Постройте биссектрису данного угла.
Точка пересечения биссектрисы с окружностью будет искомой точкой, равноудаленной от сторон угла.
Задача может иметь одно решение, если угол и окружность пересекаются.

Ответ: Задача может иметь одно решение.