167 На рисунке 98 треугольник ADE равнобедренный, DE – основание. Докажите, что: а) если BD = CE, то ∠CAD=∠BAE и AB = = АС; б) если ∠CAD = ∠BAЕ, то BD = СЕ и AB = AC.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренных треугольников и признаками равенства треугольников.

а) Дано: BD = CE, треугольник ADE – равнобедренный, DE – основание.

Доказать: ∠CAD = ∠BAE и AB = AC.

Решение:

1. Так как треугольник ADE равнобедренный, то AD = AE.
2. Рассмотрим треугольники ABD и ACE:
3. AD = AE (из пункта 1),
4. BD = CE (по условию),
5. ∠ADB = ∠AEC (как углы при основании равнобедренного треугольника ADE).
6. Следовательно, треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
7. Из равенства треугольников ABD и ACE следует, что AB = AC и ∠BAD = ∠CAE.
8. Тогда ∠BAD = ∠CAE. ∠CAD = ∠BAD - ∠BAE, ∠BAE = ∠CAE - ∠CAD. Значит, ∠CAD = ∠BAE.

б) Дано: ∠CAD = ∠BAE, треугольник ADE – равнобедренный, DE – основание.

Доказать: BD = CE и AB = AC.

Решение:

1. Так как треугольник ADE равнобедренный, то AD = AE.
2. ∠CAD = ∠BAE (по условию).
3. Следовательно, ∠BAD = ∠BAE + ∠EAD = ∠CAD + ∠EAD = ∠CAE.
4. Рассмотрим треугольники ABD и ACE:
5. AD = AE (из пункта 1),
6. ∠BAD = ∠CAE (из пункта 3),
7. ∠ADB = ∠AEC (как углы при основании равнобедренного треугольника ADE).
8. Следовательно, треугольники ABD и ACE равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
9. Из равенства треугольников ABD и ACE следует, что AB = AC и BD = CE.

Ответ: доказано