На рисунке 1 плоскости α и β пересекаются по прямой EF. Прямая AB лежит в плоскости α. В плоскости β через точку C проведите прямую так, чтобы она: 1) пересекала прямую AB; 2) была скрещивающейся с прямой AB; 3) была параллельна прямой AB.

Взаимное расположение прямых определяем по тому, пересекаются ли они, параллельны ли или лежат в разных плоскостях.

1. Проведём через C прямую, пересекающую AB. На рисунке AB и C не лежат в одной плоскости, поэтому такая прямая должна пересечь AB вне α. Для этого возьмём точку P на AB и проведём CP. Но любая прямая, проходящая через P и C, пересекает плоскость α в точке P; при наличии только плоскостей α и β это невозможно, поскольку C принадлежит β, а P — α, и их пересечение — EF. Следовательно, P должна лежать на EF. Однако AB пересекает EF в B, поэтому единственная прямая в β через C, которая пересекает AB, — CB.
2. Прямая через C, параллельная AB, не пересекает AB и не лежит с ней в одной плоскости, значит, она скрещивается с AB. Проведём через C такую прямую, параллельную AB.
3. Прямая, параллельная AB, также является требуемой для пункта 3. Проведём через C единственную прямую с этим направлением.

Пункты 2 и 3 в условии противоречат друг другу: любая прямая, параллельная AB, по определению не пересекает AB и является скрещивающейся с ней, поскольку C не лежит в α.

Ответ: 1) CB; 2) любая прямая через C, параллельная AB; 3) та же прямая через C, параллельная AB.