На рисунке 163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы O₁A и O₂B равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O₁O₂ между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O₁O₂ либо параллельны, либо лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырёхугольник O₁ABO₂.

1. По условию колёса одинаковые, поэтому их радиусы равны: \(O_1A=O_2B\).
2. По условию длина стержня равна расстоянию между центрами колёс: \(AB=O_1O_2\).
3. В четырёхугольнике O₁ABO₂ две пары противоположных сторон равны: \(O_1A=BO_2\) и \(AB=O_2O_1\).
4. Следовательно, если четырёхугольник невырожденный, то O₁ABO₂ является параллелограммом. Поэтому его противоположные стороны параллельны: \(AB\parallel O_1O_2\).
5. Если четырёхугольник вырожденный, то все его вершины лежат на одной прямой; в этом случае отрезки \(AB\) и \(O_1O_2\) лежат на одной прямой.

Ответ: отрезки \(AB\) и \(O_1O_2\) либо параллельны, либо лежат на одной прямой.