На рисунке 47 AA₁ = CC₁, BC = B₁C₁, BC ⟂ AC, B₁C₁ ⟂ A₁C₁. Докажите, что Δ ACB = Δ A₁C₁B₁.

Точки A, C, A₁, C₁ расположены на одной прямой в указанном порядке.

1. По рисунку и условию: AA₁ = AC + CA₁, а CC₁ = CA₁ + A₁C₁.
2. Так как AA₁ = CC₁, вычитаем из равных отрезков общий отрезок CA₁ и получаем AC = A₁C₁.
3. По условию BC = B₁C₁. Углы ACB и A₁C₁B₁ прямые, поскольку BC ⟂ AC и B₁C₁ ⟂ A₁C₁. Значит, эти углы равны.
4. Следовательно, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁ и ∠ACB = ∠A₁C₁B₁. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: ΔACB = ΔA₁C₁B₁.