На рисунке 50 AB = AD, AC = AE и ∠BAD = ∠CAE. Равны ли отрезки BC и DE, углы MCA и KEA?

По рисунку лучи AD и AC расположены внутри угла BAE, а точки B, C, M и D, E, K лежат соответственно на одной прямой.

Обозначим ∠BAD = ∠CAE = α, а ∠DAC = β. Тогда ∠BAC = α + β и ∠DAE = β + α, поэтому ∠BAC = ∠DAE.

В треугольниках BAC и DAE: AB = AD, AC = AE, а углы между этими сторонами равны. Значит, △BAC = △DAE по двум сторонам и углу между ними. Отсюда BC = DE и ∠BCA = ∠DEA.

Углы ∠MCA и ∠BCA смежные, как и ∠KEA и ∠DEA. Смежные углы, соответственно равные углам ∠BCA и ∠DEA, равны между собой. Следовательно, ∠MCA = ∠KEA.

Ответ: да, BC = DE и ∠MCA = ∠KEA.