На рисунке 62 прямая ВС касается окружности с центром О в точке В. Найдите \(\angle\) AOB, если \(\angle\) ABC = 63°.

Решение:

Прямая BC является касательной к окружности в точке B. Радиус OB перпендикулярен касательной BC. Следовательно, \( \angle OBC = 90° \).

Мы знаем, что \( \angle ABC = 63° \). Тогда \( \angle AOB = 180° - \angle OBC - \angle OBA \).

Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности. Значит, \( \angle OAB = \angle OBA \).

В прямоугольном треугольнике OBC: \( \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC = 90° - 63° = 27° \).

Так как \( \triangle AOB \) — равнобедренный, то \( \angle OAB = \angle OBA = 27° \).

Сумма углов в \( \triangle AOB \) равна 180°. Поэтому \( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (27° + 27°) = 180° - 54° = 126° \).

Ответ: \( \angle AOB = 126° \).