На рисунке 80: ∠DAC = ∠DBC, AO = BO. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.

Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

1. Так как точки A, O, C лежат на одной прямой, а точки B, O, D — на другой, то из условия получаем \(\angle DAO = \angle DBO\).
2. Углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) — вертикальные, поэтому \(\angle AOD = \angle BOC\).
3. По условию \(AO = BO\).

Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA).

Из равенства треугольников следует:

• \(\angle ADO = \angle BCO\), то есть \(\angle D = \angle C\);
• \(OD = OC\).

Кроме того,

\[AC = AO + OC,\qquad BD = BO + OD.\]

Так как \(AO = BO\) и \(OC = OD\), то

\[AC = AO + OC = BO + OD = BD.\]

Ответ: \(\angle C = \angle D\), \(AC = BD\).