3. На рисунке АB = 4, BE = 6, DE = 5, прямая АВ перпендикулярна прямой BD, CD перпендикулярна ВД и ЕА перпендикулярна ЕС. Найдите CD.

Рассмотрим рисунок. Прямая АВ перпендикулярна BD, следовательно, углы АВЕ и CDE - прямые, то есть ∠ABE = ∠CDE = 90°. Также дано, что ЕА перпендикулярна ЕС, значит, ∠AEC = 90°.

Обозначим ∠AEB = α, тогда ∠CED = 90° - α.

Рассмотрим треугольник ABE. Он прямоугольный, поэтому ∠BAE = 90° - α.

Рассмотрим треугольник CDE. Он прямоугольный, поэтому ∠DCE = 90° - (90° - α) = α.

Таким образом, треугольники ABE и CDE подобны по двум углам (∠ABE = ∠CDE = 90° и ∠BAE = ∠DCE = 90° - α).

Запишем отношение соответственных сторон этих подобных треугольников:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BE}{CD}$$

Подставим известные значения AB = 4, BE = 6, DE = 5:

$$\frac{4}{5} = \frac{6}{CD}$$

Решим уравнение для CD:

$$CD = \frac{6 \cdot 5}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$

Ответ: 7.5