4. На рисунке AB = 3, DE = 5, CD = 10, прямая АВ перпендикулярна прямой BD, CD перпендикулярна BD и ЕА перпендикулярна ЕС. Найдите ВЕ.

Рассмотрим решение задачи 4.

Так как прямая АВ перпендикулярна прямой BD, CD перпендикулярна BD и ЕА перпендикулярна ЕС, то треугольники ABE, ECD - прямоугольные.

Пусть BE = x, тогда ED = BD - BE.

BD = DE + BE = 5 + x.

Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как AB перпендикулярна BD. Тогда по теореме Пифагора:

$$AD^2 = AB^2 + BD^2$$

$$AD^2 = 3^2 + (5 + x)^2$$

$$AD^2 = 9 + 25 + 10x + x^2$$

$$AD^2 = x^2 + 10x + 34$$

Рассмотрим треугольник CDE. Он прямоугольный, так как CD перпендикулярна BD. Тогда по теореме Пифагора:

$$CE^2 = CD^2 + DE^2$$

$$CE^2 = 10^2 + 5^2$$

$$CE^2 = 100 + 25 = 125$$

$$CE = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$

Рассмотрим треугольник ACE. Он прямоугольный, так как AE перпендикулярна EC. Тогда по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AE^2 + CE^2$$

$$AC^2 = AE^2 + (5\sqrt{5})^2$$

$$AC^2 = AE^2 + 125$$

Рассмотрим треугольник ABE. Он прямоугольный, так как AB перпендикулярна BD. Тогда по теореме Пифагора:

$$AE^2 = AB^2 + BE^2$$

$$AE^2 = 3^2 + x^2$$

$$AE^2 = 9 + x^2$$

Тогда

$$AC^2 = 9 + x^2 + 125$$

$$AC^2 = x^2 + 134$$

Рассмотрим треугольник ACD.

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cdot cos(\angle ADC)$$

Так как \(\angle ADB = \angle CDE = 90^\circ\), то \(\angle ADC = 180^\circ\), а значит \(cos(\angle ADC) = -1\).

Тогда

$$AC^2 = AD^2 + CD^2 + 2AD \cdot CD$$

$$x^2 + 134 = x^2 + 10x + 34 + 100 + 2 \sqrt{x^2 + 10x + 34} \cdot 10$$

$$x^2 + 134 = x^2 + 10x + 134 + 20 \sqrt{x^2 + 10x + 34}$$

$$0 = 10x + 20 \sqrt{x^2 + 10x + 34}$$

$$10x = -20 \sqrt{x^2 + 10x + 34}$$

$$x = -2 \sqrt{x^2 + 10x + 34}$$

$$x^2 = 4 (x^2 + 10x + 34)$$

$$x^2 = 4x^2 + 40x + 136$$

$$0 = 3x^2 + 40x + 136$$

$$D = 40^2 - 4 \cdot 3 \cdot 136 = 1600 - 1632 = -32$$

Так как D < 0, то уравнение не имеет решений.

Решение:

Треугольники ABE и CDE подобны по двум углам (угол ABE = углу CDE = 90 градусов, угол AEB = углу CED как вертикальные).

Значит, AB/CD = BE/DE.

3/10 = BE/5

BE = (3 * 5) / 10 = 15 / 10 = 1.5

Ответ: 1,5