На рисунке АB = BC = AK, ∠ КАВ = 52°. Найдите указанные углы.

Рассмотрим решение данной задачи.

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный, углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠ABC = 180° - 2 × ∠BAC.

Рассмотрим треугольник AKB. Так как AK = AB, то треугольник AKB - равнобедренный, углы при основании равны, то есть ∠ABK = ∠AKB = 52°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠AKB = 180° - 2 × 52° = 76°.

Угол CBK является смежным с углом ABK, значит, ∠CBK = 180° - ∠ABK = 180° - 52° = 128°.

В равнобедренном треугольнике ABC ∠ABC = 180° - 2 × ∠BAC, выразим ∠BAC = (180° - ∠ABC) / 2. Так как ∠ABC = ∠ABK + ∠CBK = 52° + 76° = 128°, то ∠BAC = (180° - 128°) / 2 = 26°.

Угол BCA равен углу BAC, значит, ∠BCA = 26°.

В треугольнике AKB ∠ABK = 52°

Так как ∠CBK = 180° - ∠ABK = 180° - 52° = 128° - мы нашли эту величину ранее, но теперь мы знаем почему она такая.

∠ABC = ∠ABK + ∠CBK = 52° + 76° = 128°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, ∠AKB = 180° - 2 × 52° = 76°.

Так как ∠AKB и ∠CKB - смежные, ∠CKB = 180° - ∠AKB = 180° - 76° = 104°.

Отсюда, углы ∠ACK = ∠AKC, тогда ∠ACK = (180 - 104) / 2 = 38°

• ∠BCA = 26°
• ∠CKB = 76°

Ответ: ∠BCA = 26°, ∠CKB = 76°