На рисунке ABCD – прямоугольник, AH ⊥ BD, сторона AB в 8 раза меньше стороны BC. Найдите AH, если BD = 20.

1. Обозначим длину стороны AB за $$x$$, тогда длина стороны BC равна $$8x$$.

2. Поскольку ABCD – прямоугольник, то треугольник ABD является прямоугольным с гипотенузой BD. По теореме Пифагора, имеем:

$$AB^2 + AD^2 = BD^2$$ $$x^2 + (8x)^2 = 20^2$$ $$x^2 + 64x^2 = 400$$ $$65x^2 = 400$$ $$x^2 = \frac{400}{65} = \frac{80}{13}$$ $$x = \sqrt{\frac{80}{13}} = 2\sqrt{\frac{20}{13}}$$

Следовательно, $$AB = 2\sqrt{\frac{20}{13}}$$, $$BC = 8 \cdot 2\sqrt{\frac{20}{13}} = 16\sqrt{\frac{20}{13}}$$.

3. Площадь прямоугольника ABCD можно вычислить двумя способами:

• Как произведение сторон: $$S = AB \cdot BC = x \cdot 8x = 8x^2 = 8 \cdot \frac{80}{13} = \frac{640}{13}$$
• Как половину произведения диагонали BD на высоту AH, опущенную на эту диагональ: $$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$$.

4. Приравняем оба выражения для площади и найдем AH:

$$\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH = \frac{640}{13}$$ $$\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot AH = \frac{640}{13}$$ $$10 \cdot AH = \frac{640}{13}$$ $$AH = \frac{640}{13 \cdot 10} = \frac{64}{13}$$

Ответ: $$\frac{64}{13}$$