На рисунке ABCD – прямоугольник, DH⊥AC, сторона AB в 2 раза меньше стороны B Найдите DH, если AC = 10.

Разбираемся:

1. Так как ABCD – прямоугольник, то AB = CD. По условию AB в 2 раза меньше стороны BC, значит, BC = 2AB.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем AC = 10 (гипотенуза). По теореме Пифагора:

\[AD^2 + DC^2 = AC^2\] \[(2AB)^2 + AB^2 = 10^2\] \[4AB^2 + AB^2 = 100\] \[5AB^2 = 100\] \[AB^2 = 20\] \[AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

3. Тогда AD = 2AB = 4\sqrt{5}.
4. Рассмотрим треугольники ADC и DHC. У них угол C общий, и оба треугольника прямоугольные (\angle ADC = \angle DHC = 90°). Следовательно, они подобны по двум углам.
5. Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

\[\frac{DH}{AD} = \frac{DC}{AC}\] \[DH = \frac{AD \cdot DC}{AC}\] \[DH = \frac{4\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{10} = \frac{8 \cdot 5}{10} = \frac{40}{10} = 4\]

Ответ: DH = 4

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденное значение DH меньше AC. Проверь подобие треугольников и правильность составления пропорции.

Доп. профит: База: Помни, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному.